Matematikte bazen karşılaştığımız problemler, mevcut sayı sistemi içinde çözülemez görünür. Özellikle negatif sayıların karekökü alınmak istendiğinde, gerçek sayılar kümesi yetersiz kalır. İşte tam bu noktada sanal sayılar ve onların temel birimi olan i devreye girer.
Sanal birim i, aşağıdaki temel özelliği sağlayan matematiksel bir semboldür:
\( i^2 = -1 \)
Bu tanıma göre, i negatif bir sayının karekökü olma özelliğini taşır:
\( i = \sqrt{-1} \)
16. yüzyılda İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano kübik denklemleri çözerken, çözümlerde kök içinde negatif sayıların ortaya çıktığını fark etti. Daha sonra René Descartes 1637'de bu tür sayıları "sanal" (imagine) olarak adlandırdı. Leonhard Euler ise 1777'de √-1 yerine i sembolünü kullanmaya başladı.
i'nin kuvvetleri dörtlü periyotla tekrar eder:
Burada k herhangi bir tam sayıdır.
Sanal sayılar tek başına kullanılmaktan ziyade, gerçek sayılarla birleşerek karmaşık sayıları oluşturur:
\( z = a + bi \)
Burada:
Karmaşık sayılar, karmaşık düzlem üzerinde noktalar olarak temsil edilir:
Sanal sayı i, matematikteki en önemli soyutlamalardan biridir. Başlangıçta sadece bir "hayali" kavram olarak görülse de, günümüzde fizik, mühendislik, bilgisayar bilimleri ve daha birçok alanda vazgeçilmez bir araç haline gelmiştir. \( i^2 = -1 \) basit tanımı, matematiğin sınırlarını genişleterek yepyeni bir sayı sistemi ve problem çözme yaklaşımı getirmiştir.
Eğer \( i^2 = -1 \) ise, \( \sqrt{-4} \) ifadesinin değeri nedir? Cevap: \( 2i \) (çünkü \( \sqrt{-4} = \sqrt{4 \times (-1)} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2 \times i = 2i \))
