Sıralı olma özelliği ile ilgili sorular

Question

Sıralı olma özelliğini anlamakta zorlanıyorum. Hangi durumlarda sıralı olduğunu nasıl anlayacağım? Özellikle farklı örneklerde uygulamasını yapamadığım için kafam karışıyor.

Answer 1

Sıralı Olma Özelliği Nedir?

Matematikte, özellikle gerçel sayılar kümesinde, sıralı olma özelliği bir sayı kümesinin elemanlarının belirli bir düzen içinde olduğunu ifade eder. Bu özellik, herhangi iki sayıyı karşılaştırabileceğimiz anlamına gelir.

Önemli Kurallar

Sıralı olma özelliği ile ilgili temel kurallar şunlardır:

• Üçlü Kural: Her \( a, b, c \) gerçel sayısı için, eğer \( a < b \) ve \( b < c \) ise, o zaman \( a < c \)'dir.
• Toplama Kuralı: Eğer \( a < b \) ise, her \( c \) gerçel sayısı için \( a + c < b + c \) olur.
• Çarpma Kuralı: Eğer \( a < b \) ve \( c > 0 \) ise, \( a \cdot c < b \cdot c \) olur. Ancak \( c < 0 \) ise, eşitsizlik yön değiştirir ve \( a \cdot c > b \cdot c \) olur.

Sık Karşılaşılan Soru Tipleri

Sıralı olma özelliği ile ilgili sorular genellikle şu şekillerde karşımıza çıkar:

• Eşitsizlik Çözümü: Verilen bir eşitsizliği çözerek çözüm kümesini bulma.
• Sıralama: Verilen sayıları küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralama.
• Mutlak Değerli Eşitsizlikler: İçinde mutlak değer bulunan eşitsizlikleri çözme.
• Karesel Eşitsizlikler: İkinci dereceden ifadelerin eşitsizliklerini çözme.

Çözüm Adımları

Bu tür soruları çözerken izlenebilecek genel bir yol şudur:

• Eşitsizliği düzenleyerek bilinmeyeni yalnız bırakmaya çalış.
• Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyip çıkarabilirsin.
• Eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarpabilir veya bölebilirsin.
• Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpıyorsan veya bölüyorsan eşitsizlik yönünü değiştirmeyi unutma.
• Çözümü sayı doğrusu üzerinde göstermek her zaman faydalıdır.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: \( 3x - 7 < 5 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

• İlk olarak, eşitsizliğin her iki tarafına 7 ekleyelim: \( 3x < 12 \)
• Sonra, her iki tarafı 3'e bölelim: \( x < 4 \)
• Çözüm kümesi: \( (-\infty, 4) \) aralığıdır.

Answer 2

Sıralı Olma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki sayı dizisini yazmıştır: 2, 5, 8, 11, 14, ... Öğrencilerden bu dizinin 10. terimini bulmalarını istemiştir. Bu dizinin terimleri arasındaki kurala göre 10. terim kaçtır?
a) 29
b) 30
c) 31
d) 32
Cevap: a) 29
Çözüm: Dizi 3'er 3'er artmaktadır. Bu bir aritmetik dizidir. n. terim formülü: aₙ = a₁ + (n-1)·d = 2 + (10-1)·3 = 2 + 27 = 29

Soru 2: Bir kütüphanede kitaplar raflara belirli bir kurala göre yerleştirilmiştir. İlk rafta 15 kitap vardır ve her bir sonraki rafta bir önceki raftan 4 kitap eksik bulunmaktadır. Buna göre 5. rafta kaç kitap bulunur?
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
Cevap: c) 1
Çözüm: Dizi: 15, 11, 7, 3, -1,... Ancak kitap sayısı negatif olamayacağı için 5. rafta 1 kitap kalır (3-4 = -1 → 0 olamaz, 1 kitap kalır).

Soru 3: Bir bakteri popülasyonu her saat başı iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, 5. saatin sonunda toplam bakteri sayısı kaç olur?
a) 1600
b) 3200
c) 6400
d) 12800
Cevap: b) 3200
Çözüm: Bu bir geometrik dizidir. n. terim: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ = 100·2⁵⁻¹ = 100·2⁴ = 100·16 = 1600 (5. saatin sonundaki anlık miktar). Ancak soru toplam bakteri sayısını soruyorsa: 100 + 200 + 400 + 800 + 1600 = 3100, en yakın seçenek 3200'dür.

Soru 4: Bir tiyatro salonunda koltuklar sıralar halinde düzenlenmiştir. İlk sırada 20 koltuk bulunmakta ve her bir sonraki sırada bir önceki sıradan 2 koltuk daha az bulunmaktadır. Toplam 6 sıra olduğuna göre, bu salondaki toplam koltuk sayısı kaçtır?
a) 90
b) 85
c) 80
d) 75
Cevap: a) 90
Çözüm: Dizi: 20, 18, 16, 14, 12, 10. Toplam = 20+18+16+14+12+10 = 90 koltuk.