Üslü Sayılar Tabanları farklı olan sayılarla çarpma

Question

Tabanları farklı olan üslü sayıları çarparken hangi durumlarda ortak tabana indirebileceğimizi veya ortak üs yapabileceğimizi tam anlayamadım. Özellikle tabanlar asal sayı olduğunda nasıl bir yol izlemem gerektiğini karıştırıyorum.

Answer 1

Üslü Sayılarda Tabanları Farklı Olan Sayıları Çarpma

Üslü sayılarla işlem yaparken, tabanları farklı olan sayıları çarpabilmek için bazı özel durumları bilmemiz gerekir. Bu durumları iki ana başlıkta inceleyebiliriz.

1. Tabanları Farklı, Üsleri Aynı Olan Sayıların Çarpımı

Eğer çarpacağınız üslü sayıların üsleri aynı ise, tabanları çarpabilir ve ortak üssü sonuca yazabilirsiniz.

Genel kural şudur:

\( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)

Örnek 1:

\( 2^3 \cdot 5^3 \) işlemini yapalım.

• Üsler aynı (3).
• Tabanları çarpıyoruz: \( 2 \cdot 5 = 10 \)
• Ortak üssü (3) yazıyoruz.

Sonuç: \( (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 \)

Örnek 2:

\( 4^2 \cdot 3^2 \) işlemini yapalım.

\( (4 \cdot 3)^2 = 12^2 = 144 \)

2. Hem Tabanları Hem de Üsleri Farklı Olan Sayıların Çarpımı

Bu, en karmaşık durumdur. Bu tür problemleri çözebilmek için tabanları veya üsleri eşitlemeye çalışırız.

2.a) Tabanları Eşitleme Yöntemi

Sayıların tabanları, aynı sayının kuvvetleri şeklinde yazılabiliyorsa bu yöntem kullanılır.

Örnek:

\( 4^5 \cdot 2^3 \) işlemini yapalım.

• 4 sayısı, \( 2^2 \) şeklinde yazılabilir. Yani, \( 4^5 = (2^2)^5 \)
• Üslü sayının kuvveti kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• Buna göre, \( (2^2)^5 = 2^{10} \) olur.
• Şimdi işlemimiz: \( 2^{10} \cdot 2^3 \) haline geldi.
• Tabanları aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 2^{10 + 3} = 2^{13} \)

Sonuç: \( 2^{13} \)

2.b) Üsleri Eşitleme Yöntemi

Sayıların üsleri eşitlenebiliyorsa bu yöntem kullanılabilir. Ancak bu yöntem tabanları eşitlemekten daha az yaygındır.

Örnek:

\( 8^2 \cdot 4^3 \) işlemini yapalım.

• 8 sayısı \( 2^3 \), 4 sayısı ise \( 2^2 \) şeklinde yazılabilir.
• Yerlerine yazalım: \( (2^3)^2 \cdot (2^2)^3 \)
• Kuvvetin kuvveti kuralını uygulayalım: \( 2^{3 \cdot 2} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \cdot 2^6 \)
• Artık tabanlar ve üsler aynı. \( 2^6 \cdot 2^6 = 2^{6+6} = 2^{12} \)

Sonuç: \( 2^{12} \)

Özet ve Önemli Kurallar

• Üsler aynı ise: Tabanları çarp, üssü aynen yaz. \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
• Hem taban hem üs

Answer 2

Üslü Sayılar Tabanları Farklı Olan Sayılarla Çarpma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir biyolog, iki farklı bakteri türünün çoğalmasını inceliyor. İlk bakteri türü 4³ adet, ikinci bakteri türü ise 2⁵ adettir. Toplam bakteri sayısını hesaplamak isteyen biyolog aşağıdaki işlemlerden hangisini yapmalıdır?
a) 4³ + 2⁵
b) 2⁶ + 2⁵
c) 2⁸ + 2⁵
d) 4⁸
e) 2¹¹
Cevap: b) 2⁶ + 2⁵
Çözüm: 4³ = (2²)³ = 2⁶ şeklinde yazılabilir. Bu durumda toplam bakteri sayısı 2⁶ + 2⁵ olarak ifade edilir.

Soru 2: Bir fizik öğrencisi, iki farklı enerji kaynağının ürettiği güçleri karşılaştırıyor. İlk kaynak 8² watt, ikinci kaynak ise 4³ watt güç üretmektedir. Bu iki kaynağın toplam gücünü ifade eden üslü sayı aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2⁷
b) 2⁸
c) 4⁵
d) 8³
e) 64²
Cevap: a) 2⁷
Çözüm: 8² = (2³)² = 2⁶ ve 4³ = (2²)³ = 2⁶ şeklinde yazılır. Toplam güç = 2⁶ + 2⁶ = 2 × 2⁶ = 2¹ × 2⁶ = 2⁷ watt olur.

Soru 3: Bir matematik yarışmasında öğrencilerden 9² × 27³ işleminin sonucunu bulmaları isteniyor. Bu işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) 3¹⁰
b) 3¹²
c) 3¹³
d) 9⁶
e) 27⁴
Cevap: c) 3¹³
Çözüm: 9² = (3²)² = 3⁴ ve 27³ = (3³)³ = 3⁹ şeklinde yazılır. Çarpım: 3⁴ × 3⁹ = 3⁴⁺⁹ = 3¹³ olur.