Trigonometride, açıların toplamı ve farkının trigonometrik fonksiyonlarını hesaplamak için kullanılan formüller, matematik problemlerini çözmede oldukça önemlidir. Bu yazıda, tan(a+b) ve tan(a-b) formüllerini detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.
İki açının toplamının tanjant değerini bulmak için kullanılan formül:
\( \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} \)**
Bu formül, sinüs ve kosinüs toplam formüllerinden türetilmiştir:
Tanjant fonksiyonu sinüs/kosinüs oranı olduğundan:
\( \tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} \)**
Pay ve paydayı \( \cos a \cos b \) ile bölersek:
\( \tan(a+b) = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin b}{\cos b}}{1 - \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\sin b}{\cos b}} = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \)**
İki açının farkının tanjant değerini bulmak için kullanılan formül:
\( \tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b} \)**
Bu formül, tan(a+b) formülündeki b yerine -b yazarak elde edilir. Tanjant fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan \( \tan(-b) = -\tan b \) olduğunu unutmayın.
tan(75°) değerini bulalım:
75° = 45° + 30° olduğundan:
\( \tan(75°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \cdot \tan 30°} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \)**
tan(15°) değerini bulalım:
15° = 45° - 30° olduğundan:
\( \tan(15°) = \frac{\tan 45° - \tan 30°}{1 + \tan 45° \cdot \tan 30°} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \)**
Bu formüller:
yaygın olarak kullanılmaktadır.
Trigonometrik toplam ve fark formüllerini iyi öğrenmek, matematiksel problem çözme becerilerinizi geliştirecek ve daha karmaşık trigonometrik konuları anlamanızı kolaylaştıracaktır.
