🎲 Olasılığa Giriş
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını sayısal olarak ifade etme biçimidir. Günlük hayatta pek çok yerde karşımıza çıkar. Örneğin, "Yarın yağmur yağma olasılığı %60" dediğimizde, yağmurun ne kadar muhtemel olduğunu belirtiriz.
- 💡 Olasılık Nedir? Bir şeyin olma ihtimali.
- 🎯 Neden Önemli? Karar vermemize yardımcı olur.
🧮 Temel Kavramlar
Olasılık hesaplamalarına geçmeden önce bazı temel kavramları anlamamız gerekiyor:
- 🧪 Deney: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen bir işlem. Örneğin, zar atmak.
- 🎉 Olay: Deneyin mümkün olan sonuçlarından bir veya birkaçının bir araya gelmesi. Örneğin, zar atıldığında tek sayı gelmesi.
- 🌈 Örnek Uzay (E): Bir deneyin bütün mümkün sonuçlarının kümesi. Örneğin, bir zar atıldığında örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- 🚫 İmkansız Olay: Gerçekleşme olasılığı olmayan olay. Olasılığı 0'dır.
- ✅ Kesin Olay: Gerçekleşme olasılığı kesin olan olay. Olasılığı 1'dir.
➕ Olasılık Hesaplama
Bir olayın olasılığını hesaplamak için şu formülü kullanırız:
Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı)
Örneğin, bir zar atıldığında 4 gelme olasılığı:
* İstenen durum sayısı: 1 (sadece 4 gelmesi)
* Tüm durumların sayısı: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
* Olasılık = 1/6
📌 Örnek Soru 1
İçinde 3 kırmızı, 4 beyaz ve 2 mavi bilye bulunan bir torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
* İstenen durum sayısı: 3 (kırmızı bilye sayısı)
* Tüm durumların sayısı: 9 (toplam bilye sayısı)
* Olasılık = 3/9 = 1/3
📌 Örnek Soru 2
İki zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle tüm durumları bulalım. İki zar atıldığında toplam 36 farklı durum oluşabilir (6 x 6 = 36). Şimdi istenen durumları bulalım (toplamı 7 olanlar):
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
Toplam 6 tane istenen durum var.
Olasılık = 6/36 = 1/6
🤝 Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
*
Bağımsız Olaylar: Bir olayın sonucu, diğer olayın sonucunu etkilemiyorsa, bu olaylar bağımsızdır. Örneğin, bir parayı iki kere havaya atmak. İlk atışın sonucu, ikinci atışı etkilemez.
*
Bağımlı Olaylar: Bir olayın sonucu, diğer olayın sonucunu etkiliyorsa, bu olaylar bağımlıdır. Örneğin, bir torbadan art arda iki bilye çekmek (geri koymadan). İlk çekilen bilye, ikinci çekilişteki olasılıkları değiştirir.
📌 Örnek Soru 3
Bir torbada 5 kırmızı ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip, geri konulmadan bir bilye daha çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
İlk çekilenin kırmızı olma olasılığı: 5/8
İlk çekilen kırmızı ise, torbada 4 kırmızı ve 3 beyaz bilye kalır. İkinci çekilenin de kırmızı olma olasılığı: 4/7
İkisinin de kırmızı olma olasılığı: (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14
➕ Toplama ve Çarpma Kuralları
*
Toplama Kuralı: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşme olasılığını bulmak için kullanılır. Eğer olaylar ayrık ise (aynı anda gerçekleşemiyorlarsa), olasılıkları toplarız.
P(A veya B) = P(A) + P(B)
*
Çarpma Kuralı: İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için kullanılır. Eğer olaylar bağımsız ise, olasılıkları çarparız.
P(A ve B) = P(A) * P(B)
📌 Örnek Soru 4
Bir sınıfta 12 kız ve 10 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerden 5'i, erkek öğrencilerden 3'ü gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir?
Çözüm:
P(Kız) = 12/22
P(Gözlüklü) = 8/22 (5 kız + 3 erkek)
P(Kız ve Gözlüklü) = 5/22
P(Kız veya Gözlüklü) = P(Kız) + P(Gözlüklü) - P(Kız ve Gözlüklü)
P(Kız veya Gözlüklü) = (12/22) + (8/22) - (5/22) = 15/22
⚠️ Önemli Notlar
* Olasılık her zaman 0 ile 1 arasında bir değerdir.
* Bir olayın olmama olasılığı, 1'den o olayın olma olasılığının çıkarılmasıyla bulunur. Örneğin, bir olayın olma olasılığı 1/3 ise, olmama olasılığı 2/3'tür.
* Olasılık problemlerini çözerken dikkatli olmak ve tüm durumları göz önünde bulundurmak önemlidir.
Umarım bu konu anlatımı olasılık konusunu anlamana yardımcı olmuştur. Başarılar!
