Matematikte, ardışık terimlerin toplamını kısa ve öz bir şekilde ifade etmek için kullanılan sembole toplam sembolü (Σ) denir. Bu notta, toplam sembolü ile ilgili temel formülleri ve özellikleri öğreneceğiz.
Toplam sembolü genellikle şu şekilde yazılır:
\[ \sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n \]
Burada:
\[ \sum_{i=1}^{n} c = c \cdot n \]
Örnek: \(\sum_{i=1}^{5} 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 \times 5 = 15\)
\[ \sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \]
Örnek: \(\sum_{i=1}^{10} i = \frac{10 \times 11}{2} = 55\)
\[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
Örnek: \(\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30\) ve formülle: \(\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = 30\)
\[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \]
İlginç Not: Doğal sayıların küpleri toplamı, doğal sayıların toplamının karesine eşittir!
\[ \sum_{i=0}^{n-1} (a + i \cdot d) = \frac{n}{2} \left[2a + (n-1)d\right] \]
Burada a ilk terim, d ortak farktır.
\[ \sum_{i=0}^{n-1} a \cdot r^i = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1) \]
Burada a ilk terim, r ortak çarpandır.
\[ \sum_{i=m}^{n} c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=m}^{n} a_i \]
\[ \sum_{i=m}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n} a_i + \sum_{i=m}^{n} b_i \]
\[ \sum_{i=m}^{n} a_i = \sum_{i=m+k}^{n+k} a_{i-k} \]
\[ \sum_{i=m}^{n} a_i = \sum_{i=m}^{k} a_i + \sum_{i=k+1}^{n} a_i \quad (m \leq k < n) \]
Soru: \(\sum_{k=1}^{20} (3k + 2)\) ifadesinin değeri nedir?
Çözüm:
\[ \sum_{k=1}^{20} (3k + 2) = \sum_{k=1}^{20} 3k + \sum_{k=1}^{20} 2 \]
\[ = 3 \cdot \sum_{k=1}^{20} k + 2 \cdot 20 \]
\[ = 3 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 40 \]
\[ = 3 \cdot 210 + 40 = 630 + 40 = 670 \]
Sonuç: Toplam sembolü formülleri, matematiksel hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştıran ve zaman kazandıran araçlardır. Bu formülleri iyi öğrenmek, hem akademik başarı hem de problem çözme becerisi açısından önemlidir. 🧮✨
