Türevin Geometrik Yorumu: AYT'de En Çok Çıkan Soru Tipleri

Question

Türevin geometrik yorumu konusunda AYT'de en çok çıkan soru tiplerini merak ediyorum. Bu soru tiplerini nasıl çözeceğimi ve nelere dikkat etmem gerektiğini öğrenmek istiyorum.

Answer 1

🎨 Türevin Geometrik Yorumu Nedir?

Türevin geometrik yorumu, bir fonksiyonun grafiği üzerindeki bir noktadaki teğet doğrusunun eğimini bulmamızı sağlar. Bu eğim, o noktadaki türevin değerine eşittir. Yani, türev bize fonksiyonun o noktada ne kadar hızlı değiştiğini gösterir.

• 🍎 Teğet Doğrusu: Bir eğriye sadece bir noktada değen doğrudur.
• 📈 Eğim: Bir doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren sayıdır. Dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
• 🧮 Türev: Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranıdır.

❓ AYT'de En Çok Çıkan Soru Tipleri

📐 Teğet Denklemi Bulma

Bu tip sorularda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki teğet doğrusunun denklemini bulmanız istenir.

Örnek Soru:

$f(x) = x^2 + 2x - 1$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

1. Öncelikle, $f(1)$ değerini bulalım: $f(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 2$. Teğet doğrumuz $(1, 2)$ noktasından geçecek.
2. Şimdi türevi alalım: $f'(x) = 2x + 2$.
3. $x = 1$ noktasındaki türevi hesaplayalım: $f'(1) = 2(1) + 2 = 4$. Bu, teğet doğrumuzun eğimidir.
4. Teğet doğrusunun denklemi: $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülünü kullanarak, $y - 2 = 4(x - 1)$. Buradan $y = 4x - 2$ elde edilir.

📉 Normal Denklemi Bulma

Bu tip sorularda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki normal doğrusunun denklemini bulmanız istenir. Normal doğrusu, teğet doğrusuna dik olan doğrudur.

Örnek Soru:

$f(x) = x^3$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki normal doğrusunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

1. Öncelikle, $f(2)$ değerini bulalım: $f(2) = (2)^3 = 8$. Normal doğrumuz $(2, 8)$ noktasından geçecek.
2. Şimdi türevi alalım: $f'(x) = 3x^2$.
3. $x = 2$ noktasındaki türevi hesaplayalım: $f'(2) = 3(2)^2 = 12$. Bu, teğet doğrumuzun eğimidir.
4. Normal doğrusunun eğimi, teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir: $m_{normal} = -\frac{1}{12}$.
5. Normal doğrusunun denklemi: $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülünü kullanarak, $y - 8 = -\frac{1}{12}(x - 2)$. Buradan $y = -\frac{1}{12}x + \frac{49}{6}$ elde edilir.

🧭 Grafik Yorumlama

Bu tip sorularda, bir fonksiyonun grafiği verilir ve bu grafiğe göre türevin işaretini, artan/azalan aralıklarını veya yerel maksimum/minimum noktalarını belirlemeniz istenir.

• ➕ Pozitif Türev: Fonksiyon artandır. Grafik yukarı doğru çıkar.
• ➖ Negatif Türev: Fonksiyon azalandır. Grafik aşağı doğru iner.
• 0️⃣ Sıfır Türev: Fonksiyonun yerel maksimum veya minimum noktası olabilir. Grafik yatay bir teğete sahiptir.

Örnek Soru:

Aşağıdaki grafiğe göre, fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını ve azaldığını belirleyiniz.

(Grafik örneği: Basit bir eğri çizin. Örneğin, x=0'da minimuma sahip bir parabol çizebilirsiniz.)

Çözüm:

1. Grafiği inceleyerek, fonksiyonun $x < 0$ aralığında azaldığını (negatif eğim), $x > 0$ aralığında ise arttığını (pozitif eğim) görebiliriz.
2. $x = 0$ noktasında fonksiyonun yerel minimumu vardır (türev sıfırdır).

📍 Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu tip sorularda, gerçek hayat problemlerini modelleyerek, belirli bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmanız istenir.

Örnek Soru:

Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin alanının maksimum olması için kenar uzunlukları ne olmalıdır?

Çözüm:

1. Dikdörtgenin kenar uzunluklarına $x$ ve $y$ diyelim. Çevre: $2x + 2y = 20$. Alan: $A = xy$.
2. Çevre denkleminden $y$'yi çekelim: $y = 10 - x$.
3. Alan denklemini $x$ cinsinden yazalım: $A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$.
4. Türevi alalım: $A'(x) = 10 - 2x$.
5. Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulalım: $10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$.
6. İkinci türevi alalım: $A''(x) = -2$. İkinci türev negatif olduğu için $x = 5$ noktasında maksimum alan vardır.
7. $x = 5$ ise $y = 10 - 5 = 5$. Yani, dikdörtgen bir kare olmalıdır.