TYT Bölme Bölünebilme: Asal Çarpanlara Ayırma ve Olimpiyat Soru Çözümleri

Question

Bölme bölünebilme tamam ama asal çarpanlara ayırma ve olimpiyat soruları çok karışık. Bunları nasıl halledeceğim bilmiyorum.

Answer 1

➕ TYT Bölme Bölünebilme: Asal Çarpanlara Ayırma

Bölme bölünebilme konusu, matematikteki temel taşlardan biridir. Özellikle TYT sınavında karşımıza çıkan bu konu, asal çarpanlara ayırma ile birleştiğinde daha da önem kazanır. Gelin, bu konuyu adım adım inceleyelim.

💯 Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

• ⭐ Asal Sayı: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. Örneğin; 2, 3, 5, 7, 11, 13...
• ✨ Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya denir. Örneğin; 36 = 2² * 3²

📝 Bölünebilme Kuralları

• 2️⃣ 2 ile Bölünebilme: Birler basamağı çift sayı (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile tam bölünür.
• 3️⃣ 3 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
• 4️⃣ 4 ile Bölünebilme: Son iki basamağı 00 veya 4'ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
• 5️⃣ 5 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
• 6️⃣ 6 ile Bölünebilme: Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünür.
• 9️⃣ 9 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı 9'un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
• 🔟 10 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.

💡 Örnek Soru ve Çözümü

Soru: 4 basamaklı 2A5B sayısı 15 ile tam bölünebildiğine göre, A+B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm:

• 1️⃣ 15 ile bölünebilme kuralı, sayının hem 3 hem de 5 ile bölünebilmesi demektir.
• 2️⃣ 5 ile bölünebilme için B, 0 veya 5 olmalıdır.
• 3️⃣ A+B toplamının en büyük olması için B=5 seçilir. Sayı 2A55 olur.
• 4️⃣ 3 ile bölünebilme için 2+A+5+5 = A+12 toplamı 3'ün katı olmalıdır.
• 5️⃣ A'nın alabileceği en büyük değer 9'dur (A+12 = 21).
• 6️⃣ Bu durumda A+B = 9+5 = 14 olur.

Cevap: 14

🏆 Olimpiyat Soru Çözümleri

Bölme bölünebilme konusu, matematik olimpiyatlarında da sıkça karşımıza çıkar. Bu sınavlarda, daha karmaşık ve yaratıcı sorularla karşılaşırız. Şimdi de olimpiyat tarzı bazı soruları inceleyelim.

📌 Örnek Olimpiyat Sorusu 1

Soru: $7^{2023}$ sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

• 🌟 Bu tip sorularda, sayının kuvvetlerinin periyodik tekrarını bulmaya çalışırız.
• 🌟 7'nin kuvvetlerinin 10 ile bölümünden kalanlarına bakalım:
  • 7¹ → 7
  • 7² → 49 → 9
  • 7³ → 343 → 3
  • 7⁴ → 2401 → 1
  • 7⁵ → 16807 → 7 (tekrar başa döndü)
• 🌟 Kalanlar 4'te bir tekrar ediyor (7, 9, 3, 1).
• 🌟 2023'ü 4'e böldüğümüzde kalan 3'tür. Bu da demektir ki, 7²⁰²³'ün 10 ile bölümünden kalan, 7³'ün 10 ile bölümünden kalana eşittir.
• 🌟 7³ = 343 ve 343'ün 10 ile bölümünden kalan 3'tür.

Cevap: 3

📌 Örnek Olimpiyat Sorusu 2

Soru: $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n^2 + 3n + 2$ sayısı 6 ile tam bölünebiliyorsa, $n$'nin alabileceği değerler nelerdir?

Çözüm:

• 💡 Öncelikle ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$
• 💡 Bu ifadenin 6 ile bölünebilmesi için, hem 2 hem de 3 ile bölünebilmesi gerekir.
• 💡 $(n+1)$ ve $(n+2)$ ardışık sayılar olduğundan, bunlardan biri kesinlikle çift sayıdır. Yani ifade her zaman 2 ile bölünür.
• 💡 İfadenin 3 ile bölünebilmesi için, $(n+1)$ veya $(n+2)$ sayılarından birinin 3'ün katı olması gerekir.
• 💡 Bu durumda $n+1 = 3k$ veya $n+2 = 3k$ olmalıdır (k bir tam sayı).
• 💡 Yani $n = 3k-1$ veya $n = 3k-2$ olmalıdır.
• 💡 Bu da demektir ki, $n$ sayısı 3 ile bölündüğünde 1 veya 2 kalanını vermelidir.

Cevap: $n$, 3 ile bölündüğünde 1 veya 2 kalanını veren pozitif tam sayılar olabilir.

Umarım bu anlatım, bölme bölünebilme konusunu anlamanıza ve olimpiyat sorularını çözmenize yardımcı olur. Başarılar!