Üçgende açıortay nedir

Question

Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir. Bu doğrunun kenarlara ulaşana kadar olan kısmını çizdiğimizde, karşı kenarı nasıl böldüğünü ve buradan oranlar bulmayı tam anlayamadım. Özellikle açıortay teoremini uygularken hangi kenarları oranlayacağım konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

📐 Üçgende Açıortay

Bir üçgende, bir köşedeki iç açıyı iki eşit parçaya bölen ve bu köşeden karşı kenara kadar uzanan doğru parçasına açıortay denir.

🎯 Temel Özellikler

• 📏 Bir üçgenin herhangi bir köşesinden bir açıortay çizilebilir.
• ➗ Açıortay, açıyı iki eşit ölçüde açıya böler. Örneğin, \( \angle ABC \) açısının açıortayı çizilirse, \( \angle ABD = \angle DBC \) olur.
• 📍 Açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler. Bu, çok önemli bir kuraldır!

🧮 Açıortay Teoremi

Aşağıdaki üçgeni düşünün:

• \( ABC \) üçgeninde, \( [AN] \), \( A \) köşesinden çizilen bir açıortay olsun.
• Bu açıortay \( [BC] \) kenarını \( N \) noktasında kessin.

Teorem bize şunu söyler:

\( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BN|}{|NC|} \)

Yani, açıortayın kestiği kenar parçalarının uzunlukları, o kenarlara komşu olan diğer iki kenarın uzunlukları ile orantılıdır.

📝 Örnek

Bir \( ABC \) üçgeninde:

• \( |AB| = 6 \) cm
• \( |AC| = 9 \) cm
• \( |BC| = 10 \) cm

\( A \) köşesinden çizilen açıortay \( [BC] \) kenarını \( D \) noktasında kessin. Buna göre \( |BD| \) ve \( |DC| \) uzunluklarını bulalım.

Çözüm:

Açıortay teoremine göre:

\( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BD|}{|DC|} \)

\( \dfrac{6}{9} = \dfrac{|BD|}{|DC|} \) → \( \dfrac{2}{3} = \dfrac{|BD|}{|DC|} \)

O halde, \( |BD| = 2k \) ve \( |DC| = 3k \) diyebiliriz.

\( |BD| + |DC| = |BC| \) olduğundan:

\( 2k + 3k = 10 \)

\( 5k = 10 \)

\( k = 2 \)

Sonuç olarak:

• \( |BD| = 2k = 4 \) cm
• \( |DC| = 3k = 6 \) cm

💡 Hatırlatma

• ✅ Bir üçgende üç tane iç açıortay vardır ve bunlar üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olan bir noktada kesişir.
• ✅ Bu kesişim noktasına iç teğet çemberin merkezi veya incenter denir.