Kepler kanunları nelerdir Test 2

Güneş sisteminde Mars'ın yörünge periyodu 1,88 Dünya yılıdır. Kepler'in Üçüncü Kanunu'na göre, Mars'ın Güneş'e olan ortalama uzaklığı Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığından (1 AB) yaklaşık kaç kat fazladır?

A) 1,23 kat
B) 1,52 kat
C) 1,88 kat
D) 2,25 kat

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketlerini açıklayan Kepler'in Üçüncü Kanunu'nu kullanacağız. Bu kanun, bir gezegenin yörünge periyodu ile Güneş'e olan ortalama uzaklığı arasındaki ilişkiyi gösterir.

• Kepler'in Üçüncü Kanunu'nu Hatırlayalım:

  Kepler'in Üçüncü Kanunu'na göre, bir gezegenin yörünge periyodunun (yörüngesini tamamlama süresi) karesi, gezegenin Güneş'e olan ortalama uzaklığının küpü ile doğru orantılıdır. Matematiksel olarak bu ilişkiyi şu şekilde ifade edebiliriz:

  $\frac{T^2}{a^3} = k$ (sabit bir değer)

  Burada $T$ yörünge periyodu, $a$ ise Güneş'e olan ortalama uzaklıktır. İki farklı gezegen için bu oranı karşılaştırırsak:

  $\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$

• Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Şimdi soruda bize verilen bilgileri listeleyelim:

  Mars'ın yörünge periyodu ($T_M$) = $1,88$ Dünya yılı.

  Dünya'nın yörünge periyodu ($T_D$) = $1$ Dünya yılı (çünkü Dünya kendi yörüngesini 1 Dünya yılında tamamlar).

  Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığı ($a_D$) = $1$ AB (Astronomik Birim).

  Bizden istenen, Mars'ın Güneş'e olan ortalama uzaklığının ($a_M$) Dünya'nın uzaklığına oranını bulmak, yani $\frac{a_M}{a_D}$ değerini hesaplamak.

• Denklemi Kurup Çözelim:

  Kepler'in Üçüncü Kanunu'nu Dünya ve Mars için uygulayalım:

  $\frac{T_M^2}{a_M^3} = \frac{T_D^2}{a_D^3}$

  Bu denklemi, Mars'ın uzaklığının Dünya'nın uzaklığına oranını bulacak şekilde yeniden düzenleyelim:

  $\frac{a_M^3}{a_D^3} = \frac{T_M^2}{T_D^2}$

  Bu ifadeyi şu şekilde de yazabiliriz:

  $(\frac{a_M}{a_D})^3 = (\frac{T_M}{T_D})^2$

  Şimdi bilinen değerleri yerine koyalım:

  $(\frac{a_M}{a_D})^3 = (\frac{1,88 \text{ Dünya yılı}}{1 \text{ Dünya yılı}})^2$

  $(\frac{a_M}{a_D})^3 = (1,88)^2$

  $(\frac{a_M}{a_D})^3 = 3,5344$

  Şimdi $\frac{a_M}{a_D}$ değerini bulmak için her iki tarafın küp kökünü almamız gerekiyor:

  $\frac{a_M}{a_D} = \sqrt[3]{3,5344}$

  Bu hesaplamayı yaptığımızda yaklaşık olarak:

  $\frac{a_M}{a_D} \approx 1,523$

• Sonucu Yorumlayalım:

  Bu sonuç bize Mars'ın Güneş'e olan ortalama uzaklığının, Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığından yaklaşık $1,523$ kat daha fazla olduğunu gösterir. Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan seçenek B'dir.

Cevap B seçeneğidir.