Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği V şeklindedir ve tepe noktası (-2, 1)'dir. Fonksiyon x = 0 için 5 değerini almaktadır. Buna göre bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) f(x) = 2|x+2| + 1Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği V şeklinde ise, bu fonksiyonun genel denklemi $f(x) = a|x-h| + k$ şeklindedir. Burada $(h, k)$ noktası fonksiyonun tepe noktasıdır ve $a$ katsayısı grafiğin açıklığını ve yönünü belirler.
Soruda bize tepe noktasının $(-2, 1)$ olduğu verilmiş. Bu durumda, $h = -2$ ve $k = 1$ değerlerini genel denkleme yerleştirebiliriz:
$f(x) = a|x - (-2)| + 1$
$f(x) = a|x+2| + 1$
Şimdi tek yapmamız gereken $a$ katsayısını bulmak.
Soruda, fonksiyonun $x = 0$ için $5$ değerini aldığı belirtilmiş. Bu, $f(0) = 5$ demektir. Bulduğumuz $f(x) = a|x+2| + 1$ denkleminde $x$ yerine $0$ ve $f(x)$ yerine $5$ yazalım:
$5 = a|0+2| + 1$
$5 = a|2| + 1$
$5 = 2a + 1$
Şimdi bu denklemi $a$ için çözelim:
$5 - 1 = 2a$
$4 = 2a$
$a = \frac{4}{2}$
$a = 2$
Bulduğumuz $a = 2$ değerini, tepe noktasını kullanarak elde ettiğimiz $f(x) = a|x+2| + 1$ denkleminde yerine koyalım:
$f(x) = 2|x+2| + 1$
Bu, aradığımız fonksiyondur.
Bulduğumuz fonksiyon denklemini seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $f(x) = 2|x+2| + 1$. Bu, bizim bulduğumuz fonksiyonla aynıdır.
B) $f(x) = |2x+4| + 1$. Bu ifadeyi düzenleyelim: $f(x) = |2(x+2)| + 1 = |2| \cdot |x+2| + 1 = 2|x+2| + 1$. Gördüğünüz gibi, B seçeneği de matematiksel olarak A seçeneği ile aynı fonksiyonu temsil etmektedir.
C) $f(x) = |x+2| + 1$. Bu seçenekte $a=1$, bizim $a=2$ bulmuştuk.
D) $f(x) = 3|x+2| + 1$. Bu seçenekte $a=3$, bizim $a=2$ bulmuştuk.
Doğrudan eşleşen ve standart $f(x) = a|x-h|+k$ formuna uygun olan seçenek A'dır.
Cevap A seçeneğidir.
