Mutlak Değer Fonksiyonu Nedir? Tanımı ve Grafiksel Gösterimi Test 1

f(x) = |x-1| + |x+2| fonksiyonunun minimum değeri kaçtır ve bu değer hangi aralıkta/alır?

A) Minimum değer -1'dir, x = 1'de alınır
B) Minimum değer 0'dır, x = -2'de alınır
C) Minimum değer 3'tür, [-2, 1] aralığında alınır
D) Minimum değer 2'dir, x = 0'da alınır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mutlak değer içeren bir fonksiyonun minimum değerini ve bu değeri aldığı aralığı bulmamız isteniyor. Mutlak değer fonksiyonları, içindeki ifadenin işaretine göre farklı şekillerde tanımlanır. Bu yüzden, fonksiyonu kritik noktalara göre parçalı olarak incelememiz gerekiyor.

• 1. Adım: Kritik Noktaları Belirleyelim

  Mutlak değerin içini sıfır yapan $x$ değerlerine kritik noktalar denir. Bu noktalarda mutlak değerin tanımı değişir.

  • $|x-1|$ için kritik nokta: $x-1=0 \implies x=1$
  • $|x+2|$ için kritik nokta: $x+2=0 \implies x=-2$

  Bu kritik noktalar, sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır: $x < -2$, $-2 \le x < 1$ ve $x \ge 1$.

• 2. Adım: Her Aralıktaki Fonksiyonu Yeniden Yazalım

  Her aralıkta mutlak değer ifadelerinin işaretlerini belirleyerek $f(x)$ fonksiyonunu yeniden yazalım.

  • Durum 1: $x < -2$

    Bu aralıkta, $x-1$ negatiftir (örneğin $x=-3$ için $-4$) ve $x+2$ negatiftir (örneğin $x=-3$ için $-1$).

    Bu durumda, $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ ve $|x+2| = -(x+2) = -x-2$ olur.

    $f(x) = (-x+1) + (-x-2) = -2x-1$

  • Durum 2: $-2 \le x < 1$

    Bu aralıkta, $x-1$ negatiftir (örneğin $x=0$ için $-1$) ve $x+2$ pozitiftir veya sıfırdır (örneğin $x=0$ için $2$, $x=-2$ için $0$).

    Bu durumda, $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ ve $|x+2| = x+2$ olur.

    $f(x) = (-x+1) + (x+2) = 3$

  • Durum 3: $x \ge 1$

    Bu aralıkta, $x-1$ pozitiftir veya sıfırdır (örneğin $x=2$ için $1$, $x=1$ için $0$) ve $x+2$ pozitiftir (örneğin $x=2$ için $4$).

    Bu durumda, $|x-1| = x-1$ ve $|x+2| = x+2$ olur.

    $f(x) = (x-1) + (x+2) = 2x+1$

• 3. Adım: Fonksiyonun Değerlerini İnceleyelim

  Şimdi her aralıkta fonksiyonun nasıl davrandığına bakalım:

  • $x < -2$ için: $f(x) = -2x-1$. Bu azalan bir fonksiyondur. $x$ değeri küçüldükçe $f(x)$ değeri büyür. $x$, $-2$'ye yaklaştıkça $f(x)$ değeri $-2(-2)-1 = 4-1=3$'e yaklaşır. Yani bu aralıktaki değerler $3$'ten büyüktür.
  • $-2 \le x < 1$ için: $f(x) = 3$. Bu aralıkta fonksiyon sabittir ve değeri her zaman $3$'tür.
  • $x \ge 1$ için: $f(x) = 2x+1$. Bu artan bir fonksiyondur. $x$ değeri büyüdükçe $f(x)$ değeri büyür. $x=1$ için $f(1) = 2(1)+1 = 3$'tür. Yani bu aralıktaki değerler $3$'ten başlar ve artarak devam eder.
• 4. Adım: Minimum Değeri ve Aralığı Belirleyelim

  Yukarıdaki incelemelerden anlaşıldığı üzere:

  • $x < -2$ aralığında fonksiyonun değerleri $3$'ten büyüktür.
  • $x \ge 1$ aralığında fonksiyonun değerleri $3$'ten büyüktür (veya $x=1$ noktasında $3$'e eşittir).
  • $-2 \le x < 1$ aralığında fonksiyonun değeri sabittir ve $3$'tür.

  Bu durumda, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $3$'tür ve bu değer, $x$ değişkeni $[-2, 1]$ kapalı aralığında olduğu sürece alınır.

  Genel bir kural olarak, $|x-a| + |x-b|$ şeklindeki bir fonksiyonun minimum değeri $|a-b|$'dir ve bu değer $x \in [\min(a,b), \max(a,b)]$ aralığında alınır. Bizim durumumuzda $a=1$ ve $b=-2$. Minimum değer $|1 - (-2)| = |1+2| = 3$'tür ve bu değer $x \in [\min(1,-2), \max(1,-2)] = [-2, 1]$ aralığında alınır.

Cevap C seçeneğidir.