Bugün sizlerle mutlak değerli denklemlerden birini çözeceğiz. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve bu tür denklemleri çözerken dikkatli olmamız gereken bazı durumlar vardır. Hadi adım adım ilerleyelim!
Denklemimiz: $|x-2| + |x+3| = 7$
- Adım 1: Kritik Noktaları Belirleme
- Mutlak değerin içini sıfır yapan $x$ değerlerine kritik noktalar denir. Bu noktalar, sayı doğrusunu farklı bölgelere ayırır ve her bölgede mutlak değer ifadelerinin nasıl açılacağını belirlememizi sağlar.
- İlk ifade için: $x-2=0 \implies x=2$
- İkinci ifade için: $x+3=0 \implies x=-3$
- Kritik noktalarımız $x=-3$ ve $x=2$'dir. Bu noktalar sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır: $x < -3$, $-3 \le x < 2$ ve $x \ge 2$.
- Adım 2: Her Bölge İçin Denklemi Çözme
- Her bölgede mutlak değer ifadelerini uygun şekilde açarak denklemi çözeceğiz. Unutmayın, eğer mutlak değerin içi negatifse önüne eksi alarak, pozitifse aynen çıkar.
- Durum 1: $x < -3$ için
- Bu aralıkta, $x-2$ ifadesi negatif olur (örneğin $x=-4$ için $-6$). Dolayısıyla $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
- Bu aralıkta, $x+3$ ifadesi negatif olur (örneğin $x=-4$ için $-1$). Dolayısıyla $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.
- Denklemimiz şu hale gelir: $(-x+2) + (-x-3) = 7$
- $-2x - 1 = 7$
- $-2x = 8$
- $x = -4$
- Bulduğumuz $x=-4$ değeri, $x < -3$ aralığına dahildir. Bu yüzden $x=-4$ bir çözümdür.
- Durum 2: $-3 \le x < 2$ için
- Bu aralıkta, $x-2$ ifadesi negatif olur (örneğin $x=0$ için $-2$). Dolayısıyla $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
- Bu aralıkta, $x+3$ ifadesi pozitif veya sıfır olur (örneğin $x=0$ için $3$). Dolayısıyla $|x+3| = x+3$.
- Denklemimiz şu hale gelir: $(-x+2) + (x+3) = 7$
- $-x+x+2+3 = 7$
- $5 = 7$
- Bu bir çelişkidir! $5$ asla $7$'ye eşit olamaz. Bu durum, bu aralıkta denklemi sağlayan hiçbir $x$ değeri olmadığını gösterir. Yani bu aralıktan çözüm gelmez.
- Durum 3: $x \ge 2$ için
- Bu aralıkta, $x-2$ ifadesi pozitif veya sıfır olur (örneğin $x=3$ için $1$). Dolayısıyla $|x-2| = x-2$.
- Bu aralıkta, $x+3$ ifadesi pozitif olur (örneğin $x=3$ için $6$). Dolayısıyla $|x+3| = x+3$.
- Denklemimiz şu hale gelir: $(x-2) + (x+3) = 7$
- $2x + 1 = 7$
- $2x = 6$
- $x = 3$
- Bulduğumuz $x=3$ değeri, $x \ge 2$ aralığına dahildir. Bu yüzden $x=3$ bir çözümdür.
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
- Tüm durumları inceledikten sonra bulduğumuz geçerli çözümler $x=-4$ ve $x=3$'tür.
- Çözüm kümesi bu değerlerden oluşur: $\{-4, 3\}$.
Bu çözüm kümesi, A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
