Bir cisme etki eden net kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği şekildeki gibidir. (Grafik: Kuvvet (N) - Yer Değiştirme (m). $x=0$ ile $x=4$ m arasında kuvvet $20$ N sabit. $x=4$ ile $x=8$ m arasında kuvvet $20$ N'dan $0$ N'a doğrusal olarak azalıyor.) Cisim $0$ metreden $8$ metreye kadar yer değiştirdiğinde net kuvvetin yaptığı iş kaç Joule olur?
A) $40$Sevgili öğrenciler, bu soruda bir cisme etki eden net kuvvetin yaptığı toplam işi bulmamız isteniyor. Kuvvet-yer değiştirme ($F-x$) grafikleri, yapılan işi hesaplamak için çok güçlü bir araçtır. Unutmayın ki, kuvvet-yer değiştirme grafiğinin altında kalan alan, net kuvvetin yaptığı işi verir.
1. Adım: Grafiği Anlama ve İşin Tanımı
Grafiğe baktığımızda, cisim $0$ metreden $8$ metreye kadar yer değiştirirken kuvvetin iki farklı şekilde değiştiğini görüyoruz. Yapılan toplam işi bulmak için, bu iki farklı bölgedeki işleri ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekecek.
İş ($W$), kuvvet ($F$) ile yer değiştirmenin ($\Delta x$) çarpımıdır. Eğer kuvvet sabit değilse, $F-x$ grafiğinin altındaki alan bize işi verir. Bu alan, pozitif veya negatif olabilir; grafiğin $x$-ekseninin üstünde kalan kısmı pozitif işi, altında kalan kısmı ise negatif işi temsil eder. Bizim grafiğimizde tüm alan $x$-ekseninin üstünde olduğu için yapılan iş pozitif olacaktır.
2. Adım: Birinci Bölümdeki İşi Hesaplama ($x=0$ m'den $x=4$ m'ye)
Grafiğin ilk kısmında, cisim $x=0$ metreden $x=4$ metreye kadar yer değiştirirken net kuvvet sabittir ve değeri $F = 20$ N'dur. Bu bölgedeki grafik bir dikdörtgen şeklindedir.
Bu dikdörtgenin alanı, bu aralıkta yapılan işi ($W_1$) verecektir:
$W_1 = \text{Kuvvet} \times \text{Yer Değiştirme}$
$W_1 = F \times \Delta x_1$
$W_1 = 20 \text{ N} \times (4 \text{ m} - 0 \text{ m})$
$W_1 = 20 \text{ N} \times 4 \text{ m}$
$W_1 = 80 \text{ Joule}$
3. Adım: İkinci Bölümdeki İşi Hesaplama ($x=4$ m'den $x=8$ m'ye)
Grafiğin ikinci kısmında, cisim $x=4$ metreden $x=8$ metreye kadar yer değiştirirken net kuvvet $20$ N'dan $0$ N'a doğrusal olarak azalmaktadır. Bu bölgedeki grafik bir üçgen şeklindedir.
Bu üçgenin alanı, bu aralıkta yapılan işi ($W_2$) verecektir:
$W_2 = \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik}$
Burada taban, yer değiştirme miktarıdır: $\Delta x_2 = 8 \text{ m} - 4 \text{ m} = 4 \text{ m}$.
Yükseklik ise bu aralığın başlangıcındaki kuvvettir: $F_{başlangıç} = 20 \text{ N}$.
$W_2 = \frac{1}{2} \times 4 \text{ m} \times 20 \text{ N}$
$W_2 = \frac{1}{2} \times 80 \text{ Joule}$
$W_2 = 40 \text{ Joule}$
4. Adım: Toplam İşi Hesaplama
Cisim $0$ metreden $8$ metreye kadar yer değiştirdiğinde net kuvvetin yaptığı toplam iş, birinci ve ikinci bölümlerde yapılan işlerin toplamıdır:
$W_{toplam} = W_1 + W_2$
$W_{toplam} = 80 \text{ Joule} + 40 \text{ Joule}$
$W_{toplam} = 120 \text{ Joule}$
Bu durumda, net kuvvetin yaptığı toplam iş $120$ Joule'dür.
Cevap C seçeneğidir.
