Bir cisme etki eden kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği şekildeki gibidir.
(Grafik: x ekseni yer değiştirme (m), y ekseni kuvvet (N). (0,0) noktasından (5,10) noktasına doğrusal artan, sonra (5,10) noktasından (10,0) noktasına doğrusal azalan, sonra (10,0) noktasından (15,-5) noktasına doğrusal azalan.)
Cisim $0 \text{ m}$ konumundan $15 \text{ m}$ konumuna geldiğinde kuvvetin yaptığı toplam iş kaç Joule olur?
A) 25
B) 37.5
C) 50
D) 62.5
E) 75
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir cisme etki eden kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği verilmiş ve bizden kuvvetin yaptığı toplam işi bulmamız isteniyor. Fizikte, bir kuvvetin yaptığı iş, kuvvet-yer değiştirme grafiğinin altında kalan alana eşittir. Eğer alan x ekseninin üzerindeyse iş pozitif, altındaysa iş negatiftir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- İş Kavramını Hatırlayalım: Bir cisme etki eden kuvvetin yaptığı iş ($W$), kuvvet ($F$) ile yer değiştirme ($\Delta x$) çarpımıdır. Eğer kuvvet sabit değilse ve grafiği verilmişse, iş, $F-\Delta x$ grafiğinin altında kalan alana eşittir.
- Grafiği Bölümlere Ayıralım: Verilen grafik üç farklı geometrik şekilden oluşmaktadır. Bu şekillerin alanlarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak toplam işi bulabiliriz.
- Birinci Bölüm (0 m - 5 m arası):
- Bu aralıkta kuvvet $0 \text{ N}$'dan $10 \text{ N}$'a doğrusal olarak artmaktadır. Bu bölüm bir üçgen oluşturur.
- Üçgenin tabanı: $\Delta x_1 = 5 \text{ m} - 0 \text{ m} = 5 \text{ m}$
- Üçgenin yüksekliği: $F_1 = 10 \text{ N}$
- Bu bölümdeki iş ($W_1$) = Üçgenin alanı = $ rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = rac{1}{2} \times 5 \text{ m} \times 10 \text{ N} = 25 \text{ J}$
- İkinci Bölüm (5 m - 10 m arası):
- Bu aralıkta kuvvet $10 \text{ N}$'dan $0 \text{ N}$'a doğrusal olarak azalmaktadır. Bu bölüm de bir üçgen oluşturur.
- Üçgenin tabanı: $\Delta x_2 = 10 \text{ m} - 5 \text{ m} = 5 \text{ m}$
- Üçgenin yüksekliği: $F_2 = 10 \text{ N}$
- Bu bölümdeki iş ($W_2$) = Üçgenin alanı = $ rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = rac{1}{2} \times 5 \text{ m} \times 10 \text{ N} = 25 \text{ J}$
- Üçüncü Bölüm (10 m - 15 m arası):
- Bu aralıkta kuvvet $0 \text{ N}$'dan $-5 \text{ N}$'a doğrusal olarak azalmaktadır. Bu bölüm de bir üçgen oluşturur, ancak x ekseninin altında kaldığı için yapılan iş negatiftir.
- Üçgenin tabanı: $\Delta x_3 = 15 \text{ m} - 10 \text{ m} = 5 \text{ m}$
- Üçgenin yüksekliği: $F_3 = -5 \text{ N}$
- Bu bölümdeki iş ($W_3$) = Üçgenin alanı = $ rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = rac{1}{2} \times 5 \text{ m} \times (-5 \text{ N}) = -12.5 \text{ J}$
- Toplam İşi Hesaplayalım:
- Cisim $0 \text{ m}$ konumundan $15 \text{ m}$ konumuna geldiğinde yapılan toplam iş, her bir bölümdeki işlerin cebirsel toplamıdır.
- $W_{toplam} = W_1 + W_2 + W_3$
- $W_{toplam} = 25 \text{ J} + 25 \text{ J} + (-12.5 \text{ J})$
- $W_{toplam} = 50 \text{ J} - 12.5 \text{ J}$
- $W_{toplam} = 37.5 \text{ J}$
Buna göre, cisim $0 \text{ m}$ konumundan $15 \text{ m}$ konumuna geldiğinde kuvvetin yaptığı toplam iş $37.5 \text{ J}$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
