10. sınıf fizik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

Yatay sürtünmesiz düzlemde durmakta olan $2 \text{ kg}$ kütleli bir cisme etki eden net kuvvetin konuma bağlı değişim grafiği şekildeki gibidir. (Grafik: $F$ (N) ekseni, $x$ (m) ekseni. $F=20 \text{ N}$ sabit kuvvet $x=0$ ile $x=2 \text{ m}$ arasında. Sonra $F$ doğrusal olarak $20 \text{ N}$'dan $0 \text{ N}$'a düşüyor $x=2 \text{ m}$ ile $x=3 \text{ m}$ arasında.) Cisim $0 \text{ m}$ konumundan $3 \text{ m}$ konumuna geldiğinde cismin son hızı kaç $\text{m/s}$ olur?

A) $2\sqrt{5}$
B) $4\sqrt{5}$
C) $5\sqrt{2}$
D) $10$
E) $20$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir cisme etki eden net kuvvetin konuma bağlı değişim grafiği verilmiş ve cismin son hızı isteniyor. Bu tür soruları çözmek için İş-Enerji Teoremi'ni kullanmak en etkili yöntemdir. Hadi adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Grafikten Yapılan Toplam İşi Hesaplama

  Kuvvet-konum ($F-x$) grafiğinin altında kalan alan, net kuvvetin yaptığı işi verir. Grafiği iki bölüme ayırarak toplam işi bulabiliriz:

  • Birinci Bölüm ($x=0 \text{ m}$'den $x=2 \text{ m}$'ye kadar):

    Bu aralıkta kuvvet sabittir ($F = 20 \text{ N}$). Bu bölüm bir dikdörtgen oluşturur.

    Yapılan iş ($W_1$) = Dikdörtgenin Alanı = Taban $\times$ Yükseklik

    $W_1 = (2 \text{ m} - 0 \text{ m}) \times 20 \text{ N} = 2 \text{ m} \times 20 \text{ N} = 40 \text{ J}$

  • İkinci Bölüm ($x=2 \text{ m}$'den $x=3 \text{ m}$'ye kadar):

    Bu aralıkta kuvvet $20 \text{ N}$'dan $0 \text{ N}$'a doğrusal olarak azalmaktadır. Bu bölüm bir üçgen oluşturur.

    Yapılan iş ($W_2$) = Üçgenin Alanı = $\frac{1}{2} \times$ Taban $\times$ Yükseklik

    $W_2 = \frac{1}{2} \times (3 \text{ m} - 2 \text{ m}) \times 20 \text{ N} = \frac{1}{2} \times 1 \text{ m} \times 20 \text{ N} = 10 \text{ J}$

  • Toplam İş ($W_{net}$):

    Cisim üzerinde yapılan toplam iş, bu iki bölümdeki işlerin toplamıdır.

    $W_{net} = W_1 + W_2 = 40 \text{ J} + 10 \text{ J} = 50 \text{ J}$

• Adım 2: İş-Enerji Teoremi'ni Uygulama

  İş-Enerji Teoremi'ne göre, bir cisim üzerinde yapılan net iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Yani $W_{net} = \Delta K = K_{son} - K_{ilk}$.

  Kinetik enerji formülü $K = \frac{1}{2}mv^2$'dir.

  • Başlangıç Kinetik Enerjisi ($K_{ilk}$):

    Cisim $0 \text{ m}$ konumunda durmakta olduğu için ilk hızı $v_{ilk} = 0 \text{ m/s}$'dir.

    $K_{ilk} = \frac{1}{2}m v_{ilk}^2 = \frac{1}{2} \times 2 \text{ kg} \times (0 \text{ m/s})^2 = 0 \text{ J}$

  • Son Kinetik Enerjisi ($K_{son}$):

    Cismin $3 \text{ m}$ konumundaki son hızı $v_{son}$ olsun. Kütlesi $m = 2 \text{ kg}$'dir.

    $K_{son} = \frac{1}{2}m v_{son}^2 = \frac{1}{2} \times 2 \text{ kg} \times v_{son}^2 = v_{son}^2$

  • İş-Enerji Teoremi'ni Kullanarak $v_{son}$'u Bulma:

    $W_{net} = K_{son} - K_{ilk}$

    $50 \text{ J} = v_{son}^2 - 0 \text{ J}$

    $v_{son}^2 = 50$

• Adım 3: Son Hızı Hesaplama

  $v_{son}^2 = 50$ eşitliğinden $v_{son}$'u bulalım:

  $v_{son} = \sqrt{50}$

  Kök dışına çıkarmak için $50$'yi çarpanlarına ayıralım: $50 = 25 \times 2$

  $v_{son} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ m/s}$

Buna göre, cismin $3 \text{ m}$ konumundaki son hızı $5\sqrt{2} \text{ m/s}$'dir.

Cevap C seçeneğidir.