7. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 2

🎓 7. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 2 - Ders Notu

Bu ders notu, 7. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı sınavında karşılaşabileceğin rasyonel sayılar, cebirsel ifadeler, denklemler, oran ve orantı konularını kapsar. Sınava hazırlanırken bu konuları tekrar etmen, başarıya ulaşmanda sana yardımcı olacaktır.

📌 Rasyonel Sayılar ve İşlemler

Rasyonel sayılar, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Kesirler, ondalık sayılar ve tam sayılar da rasyonel sayıdır.

Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yaparken paydaları eşitlemek çok önemlidir.

• Paydalar eşitse: Paylar toplanır/çıkarılır, payda aynı kalır. Örn: $rac{2}{5} + rac{1}{5} = rac{3}{5}$
• Paydalar farklıysa: Ortak bir paydada eşitlenir, sonra toplama/çıkarma yapılır. Örn: $rac{1}{2} + rac{1}{3} = rac{3}{6} + rac{2}{6} = rac{5}{6}$

💡 İpucu: Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmek işlemleri kolaylaştırabilir.

Çarpma

Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

• Örn: $rac{2}{3} \times rac{4}{5} = rac{2 \times 4}{3 \times 5} = rac{8}{15}$
• Sadeleştirme varsa önce yapmak işlemi kolaylaştırır.

Bölme

Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpılır.

• Örn: $rac{3}{4} \div rac{1}{2} = rac{3}{4} \times rac{2}{1} = rac{6}{4} = rac{3}{2}$

⚠️ Dikkat: Bölme işleminde ikinci sayının (bölenin) sıfır olamayacağını unutma.

Rasyonel Sayıların Kuvvetleri

Bir rasyonel sayının kuvvetini alırken hem payın hem de paydanın kuvveti alınır.

• Örn: $({rac{2}{3}})^2 = rac{2^2}{3^2} = rac{4}{9}$
• Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatif olur. Örn: $({-rac{1}{2}})^2 = rac{1}{4}$ ama $({-rac{1}{2}})^3 = -rac{1}{8}$

📝 Cebirsel İfadeler

İçinde en az bir değişken (bilinmeyen harf) ve işlem bulunan matematiksel ifadelere cebirsel ifade denir. Örn: $3x + 5$

Terim, Katsayı, Sabit Terim

• Terim: Bir cebirsel ifadede toplama veya çıkarma işaretleriyle ayrılmış her bir parçadır. Örn: $3x + 5y - 7$ ifadesinde terimler $3x$, $5y$ ve $-7$'dir.
• Katsayı: Terimdeki değişkenin önündeki sayıdır. Örn: $3x$'in katsayısı $3$, $5y$'nin katsayısı $5$'tir.
• Sabit Terim: Değişken içermeyen terimdir. Örn: $3x + 5y - 7$ ifadesinde sabit terim $-7$'dir.

Benzer Terimler

Değişkenleri ve bu değişkenlerin kuvvetleri aynı olan terimlerdir. Örn: $2x$ ve $5x$ benzer terimlerdir, ama $2x$ ve $2x^2$ benzer değildir.

Cebirsel İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Sadece benzer terimler kendi aralarında toplanabilir veya çıkarılabilir.

• Örn: $(3x + 2) + (5x - 1) = 3x + 5x + 2 - 1 = 8x + 1$
• Örn: $(4y - 3) - (y + 5) = 4y - 3 - y - 5 = 3y - 8$

⚠️ Dikkat: Çıkarma işleminde parantez önündeki eksi işareti, parantezin içindeki her terimin işaretini değiştirir.

Bir Doğal Sayı ile Cebirsel İfadeyi Çarpma

Bir doğal sayıyı cebirsel ifadeyle çarparken, doğal sayı parantez içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır (dağılma özelliği).

• Örn: $3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15$

⚖️ Eşitlik ve Bir Bilinmeyenli Denklemler

İki matematiksel ifadenin birbirine eşit olduğunu gösteren bağıntılara eşitlik denir. İçinde bilinmeyen (değişken) bulunan ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere denklem denir.

Denklem Çözme

Bir bilinmeyenli denklemi çözmek, bilinmeyenin değerini bulmaktır. Amaç, bilinmeyeni (genellikle $x$) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

• Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.
• Eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitlik bozulmaz.
• Terimler eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir.

📝 Örnek: $2x + 5 = 11$ denklemini çözelim.

• $2x + 5 - 5 = 11 - 5$ (Her iki taraftan $5$ çıkarıldı)
• $2x = 6$
• $rac{2x}{2} = rac{6}{2}$ (Her iki taraf $2$'ye bölündü)
• $x = 3$

💡 İpucu: Denklem çözerken "bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler bir tarafa" kuralını unutma.

Problem Kurma ve Çözme

Günlük hayattaki problemleri denklem kurarak çözebiliriz. Önce bilinmeyeni ($x$) belirle, sonra problemi matematiksel bir denkleme dönüştür ve çöz.

📝 Örnek: "Bir sayının 3 katının 5 fazlası 20 ise, bu sayı kaçtır?"

• Sayıya $x$ diyelim.
• $3x + 5 = 20$
• $3x = 15$
• $x = 5$

📊 Oran ve Orantı

Oran

İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. Birimsiz veya birimli olabilir. Örn: $rac{3}{5}$ veya $3:5$ şeklinde gösterilir.

• Örn: Bir sınıfta $10$ kız, $15$ erkek öğrenci varsa, kızların erkeklere oranı $rac{10}{15} = rac{2}{3}$'tür.

Orantı

İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. Örn: $rac{a}{b} = rac{c}{d}$

• İçler dışlar çarpımı kuralı: $a \times d = b \times c$

📝 Örnek: $rac{x}{6} = rac{4}{12}$ ise $x$ kaçtır?

• $12x = 6 \times 4$
• $12x = 24$
• $x = 2$

Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar doğru orantılıdır. Bölümleri sabittir.

• $y = kx$ (k: orantı sabiti)
• Örn: Aldığın ekmek sayısı arttıkça ödeyeceğin para da artar.

Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Çarpımları sabittir.

• $x \times y = k$ (k: orantı sabiti)
• Örn: Bir işi yapan işçi sayısı arttıkça, işin bitme süresi azalır.

⚠️ Dikkat: Doğru orantıda bölme, ters orantıda çarpma sabit kalır.