Bu soruda, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için en uygun yöntem Kosinüs Teoremi'ni kullanmaktır.
- Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım: Bir $ABC$ üçgeninde, kenar uzunlukları $a, b, c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A, B, C$ olmak üzere, Kosinüs Teoremi şu şekilde ifade edilir: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$. Burada $b$ kenarı $B$ açısının karşısındaki kenardır.
- Verilenleri Belirleyelim: Bize verilenler şunlardır: $|AB| = 15$ cm (bu kenara $c$ diyelim), $|BC| = 9$ cm (bu kenara $a$ diyelim) ve $m(\angle B) = 60^\circ$. Aradığımız kenar $|AC|$'dir (bu kenara $b$ diyelim).
- Kosinüs Teoremi'ni Uygulayalım: Aradığımız kenar $|AC|$ olduğu için, formülü bu kenara göre düzenleyelim: $|AC|^2 = |BC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AB| \cdot \cos(B)$.
- Değerleri Yerine Koyup Hesaplayalım: Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
$|AC|^2 = (9)^2 + (15)^2 - 2 \cdot (9) \cdot (15) \cdot \cos(60^\circ)$.
- Hesaplamaları Yapalım:
Öncelikle bilinen değerleri hesaplayalım: $9^2 = 81$, $15^2 = 225$ ve $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Bu değerleri formüle yerleştirelim: $|AC|^2 = 81 + 225 - 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}$.
Çarpma işlemlerini yapalım: $2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 9 \cdot 15 = 135$.
Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım: $|AC|^2 = 306 - 135 = 171$.
- Sonucu Bulalım: $|AC|^2 = 171$ olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğunu bulmak için karekök alalım: $|AC| = \sqrt{171}$ cm'dir.
- Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:
Hesapladığımız değer $\sqrt{171}$ bir tam sayı değildir. Seçenekler ise tam sayılardır: A) 12, B) 13, C) 14, D) 15.
$\sqrt{171}$ değerinin hangi tam sayılara yakın olduğunu anlamak için seçeneklerin karelerini alalım: $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$.
Görüldüğü gibi, $169 < 171 < 196$ olduğundan, $\sqrt{171}$ değeri $13$ ile $14$ arasındadır.
$\sqrt{171}$ yaklaşık olarak $13.076$ değerindedir. Bu değer $13$'e ($13.076 - 13 = 0.076$ fark) $14$'ten ($14 - 13.076 = 0.924$ fark) çok daha yakındır.
Bu durumda, seçenekler arasında en yakın tam sayı değeri $13$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
