Bir tren 600 metre uzunluğundaki tüneli 30 saniyede, 400 metre uzunluğundaki bir tüneli ise 22 saniyede geçiyor. Trenin sürati sabit olduğuna göre, trenin uzunluğu kaç metredir?
A) 100
B) 150
C) 200
D) 250
Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bu problemde bir trenin tünelleri geçiş süreleri verilmiş ve trenin kendi uzunluğunu bulmamız isteniyor. Trenin süratinin sabit olması, problemi çözmemiz için önemli bir ipucu.
Bir tren bir tüneli geçerken katettiği toplam mesafe, trenin kendi uzunluğu ile tünelin uzunluğunun toplamıdır. Bu bilgiyi ve temel hız formülünü kullanarak adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Temel Formülü Hatırlayalım
- Hız, yol ve zaman arasındaki ilişkiyi ifade eden temel formülümüz şudur: $ \text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman} $. Bu formülü $ D = V \times t $ şeklinde de gösterebiliriz.
- Burada $D$ toplam katedilen mesafeyi, $V$ trenin süratini ve $t$ ise geçiş süresini ifade eder.
- Trenin kendi uzunluğuna $L_T$ diyelim. Trenin sürati sabit olduğu için bu sürate $V$ diyelim.
- Adım 2: İlk Durum İçin Denklemi Kuralım
- Tren, 600 metre uzunluğundaki tüneli 30 saniyede geçiyor.
- Bu durumda trenin katettiği toplam yol, trenin kendi uzunluğu ile tünelin uzunluğunun toplamı olacaktır: $ D_1 = L_T + 600 $ metre.
- Bu bilgiyi formülümüze yerleştirelim: $ L_T + 600 = V \times 30 $ (Denklem 1)
- Adım 3: İkinci Durum İçin Denklemi Kuralım
- Tren, 400 metre uzunluğundaki tüneli 22 saniyede geçiyor.
- Benzer şekilde, trenin katettiği toplam yol: $ D_2 = L_T + 400 $ metre.
- Bu bilgiyi formülümüze yerleştirelim: $ L_T + 400 = V \times 22 $ (Denklem 2)
- Adım 4: Denklemleri Birleştirelim ve Çözelim
- Trenin sürati ($V$) sabit olduğu için, her iki denklemden de $V$ değerini çekip birbirine eşitleyebiliriz.
- Denklem 1'den $V = \frac{L_T + 600}{30}$
- Denklem 2'den $V = \frac{L_T + 400}{22}$
- Şimdi bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim: $ \frac{L_T + 600}{30} = \frac{L_T + 400}{22} $
- İçler dışlar çarpımı yapalım: $ 22 \times (L_T + 600) = 30 \times (L_T + 400) $
- Parantezleri açalım: $ 22L_T + (22 \times 600) = 30L_T + (30 \times 400) $
- $ 22L_T + 13200 = 30L_T + 12000 $
- $L_T$ terimlerini bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayalım:
- $ 13200 - 12000 = 30L_T - 22L_T $
- $ 1200 = 8L_T $
- Şimdi $L_T$ değerini bulmak için her iki tarafı 8'e bölelim:
- $ L_T = \frac{1200}{8} $
- $ L_T = 150 $ metre.
- Yani trenin uzunluğu 150 metredir.
Cevap B seçeneğidir.
