Bir okuldaki öğrencilerin %70'i İngilizce, %50'si Almanca kursuna gitmektedir. Öğrencilerin %20'si her iki kursa da gitmediğine göre, her iki kursa giden öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %20Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir okuldaki öğrencilerin farklı kurslara katılım yüzdeleri verilmiş ve her iki kursa da katılan öğrencilerin yüzdesini bulmamız isteniyor. Bu tür problemleri çözerken, kümeler mantığını ve yüzdeleri dikkatlice kullanmalıyız. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: En az bir kursa giden öğrencilerin yüzdesini bulalım.
Öğrencilerin %20'si hiçbir kursa gitmiyorsa, geri kalan öğrenciler mutlaka İngilizce, Almanca veya her iki kursa birden gidiyor demektir. Toplam öğrenci yüzdesi %100 olduğuna göre:
En az bir kursa giden öğrenciler = Toplam öğrenciler - Hiçbir kursa gitmeyen öğrenciler
En az bir kursa giden öğrenciler = $100\% - 20\% = 80\%$
Bu %80, İngilizce kursuna gidenler ($P(\text{İngilizce})$), Almanca kursuna gidenler ($P(\text{Almanca})$) ve her iki kursa gidenlerin ($P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$) toplamını ifade eden $P(\text{İngilizce} \cup \text{Almanca})$ yüzdesidir.
Adım 2: İngilizce ve Almanca kurslarına giden öğrencilerin toplam yüzdesini hesaplayalım.
İngilizce kursuna gidenler: %70
Almanca kursuna gidenler: %50
Bu iki yüzdeyi toplarsak: $70\% + 50\% = 120\%$
Bu toplamın %100'den fazla çıkması normaldir, çünkü her iki kursa giden öğrenciler bu toplamda iki kez sayılmıştır (hem İngilizce kursuna gidenler arasında hem de Almanca kursuna gidenler arasında).
Adım 3: Her iki kursa giden öğrencilerin yüzdesini bulmak için kümeler formülünü kullanalım.
Kümeler teorisinden bildiğimiz bir formül var. İki kümenin birleşiminin eleman sayısı (veya yüzdesi) şu şekilde bulunur:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Burada:
Şimdi bildiğimiz değerleri formülde yerine yazalım:
$80\% = 70\% + 50\% - P(\text{Her İkisi})$
Denklemi düzenleyelim:
$80\% = 120\% - P(\text{Her İkisi})$
Şimdi $P(\text{Her İkisi})$'ni yalnız bırakalım:
$P(\text{Her İkisi}) = 120\% - 80\%$
$P(\text{Her İkisi}) = 40\%$
Yani, öğrencilerin %40'ı hem İngilizce hem de Almanca kursuna gitmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
