9. Sınıf Olayların Olasılık Değerlerini Hesaplama Nedir? Test 1

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top vardır. Torbadan rastgele 3 top çekiliyor. Çekilen topların numaralarının çarpımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

A) 1/6
B) 5/6
C) 11/12
D) 1/12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir torbadan çekilen topların numaralarının çarpımının çift sayı olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür olasılık problemlerini nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Torbadaki sayıları ve özelliklerini belirleyelim.

  Torbadaki toplar 1'den 10'a kadar numaralandırılmıştır. Bu sayılar arasında tek ve çift sayılar bulunmaktadır:

  • Tek sayılar: {1, 3, 5, 7, 9} - Toplam 5 adet.
  • Çift sayılar: {2, 4, 6, 8, 10} - Toplam 5 adet.

  Toplamda 10 top vardır.

• Adım 2: Çekilen topların çarpımının çift sayı olma koşulunu anlayalım.

  Üç sayının çarpımının çift sayı olması için, çekilen toplardan en az birinin çift sayı olması gerekir. Eğer çekilen üç topun hepsi tek sayı olursa, çarpımları tek sayı olur.

  Bu tür durumlarda, doğrudan "çarpımın çift olması" olasılığını hesaplamak yerine, "çarpımın tek olması" olasılığını hesaplayıp, bunu 1'den çıkarmak genellikle daha kolaydır. Çünkü çarpımın tek olması için tek bir durum vardır: çekilen üç topun da tek sayı olması.

• Adım 3: Toplam olası durum sayısını (örnek uzayı) hesaplayalım.

  Torbadan rastgele 3 top çekiliyor. 10 toptan 3 topu kaç farklı şekilde seçebileceğimizi kombinasyon formülü ile buluruz: $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  Toplam durum sayısı: $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

  Yani, 10 toptan 3 topu 120 farklı şekilde seçebiliriz.

• Adım 4: Çekilen topların çarpımının tek sayı olduğu durum sayısını hesaplayalım.

  Çarpımın tek sayı olması için, çekilen 3 topun da tek sayı olması gerekir. Torbada 5 adet tek sayı bulunmaktadır (1, 3, 5, 7, 9).

  5 tek sayıdan 3 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulalım:

  Tek sayı seçme durumu: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

  Yani, çekilen 3 topun çarpımının tek sayı olduğu 10 farklı durum vardır.

• Adım 5: Çekilen topların çarpımının tek sayı olma olasılığını hesaplayalım.

  Olasılık = $\frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam durum sayısı}}$

  $P(\text{çarpım tek}) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$.

• Adım 6: Çekilen topların çarpımının çift sayı olma olasılığını hesaplayalım.

  Çarpımın çift sayı olma olasılığı, 1'den çarpımın tek sayı olma olasılığının çıkarılmasıyla bulunur:

  $P(\text{çarpım çift}) = 1 - P(\text{çarpım tek})$

  $P(\text{çarpım çift}) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{12}{12} - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Bu durumda, çekilen topların numaralarının çarpımının çift sayı olma olasılığı $\frac{11}{12}$'dir.

Cevap C seçeneğidir.