Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabol denklemi Test 1

Bir parabol x eksenini (-2, 0) ve (6, 0) noktalarında, y eksenini ise (0, -24) noktasında kesmektedir. Bu parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 2x² - 8x - 24
B) y = -2x² + 8x - 24
C) y = 2x² + 8x - 24
D) y = -2x² - 8x - 24

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün eksenleri kestiği noktalar verilmiş ve bizden bu parabolün denklemini bulmamız isteniyor. Parabol denklemlerini yazmanın farklı yolları vardır. Eğer parabolün x eksenini kestiği noktaları (köklerini) biliyorsak, bu bilgiyi kullanarak denklemi kolayca oluşturabiliriz.

• 1. Adım: X ekseni kesim noktalarını (kökleri) belirleyelim.

Soruda parabolün x eksenini $(-2, 0)$ ve $(6, 0)$ noktalarında kestiği belirtilmiştir. Bu noktalar parabolün kökleridir. Yani $x_1 = -2$ ve $x_2 = 6$ değerleridir.

• 2. Adım: Kökleri kullanarak parabolün genel denklemini yazalım.

Bir parabolün kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, denklemi genel olarak $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazılabilir. Burada $a$ katsayısı parabolün kollarının yönünü ve açıklığını belirler.

Verilen kökleri yerine yazarsak:

$y = a(x - (-2))(x - 6)$

$y = a(x + 2)(x - 6)$

• 3. Adım: Y ekseni kesim noktasını kullanarak $a$ katsayısını bulalım.

Parabolün y eksenini $(0, -24)$ noktasında kestiği bilgisi verilmiş. Bu nokta, parabolün üzerindeki bir noktadır. Yani $x=0$ iken $y=-24$ olmalıdır. Bu değerleri yukarıdaki denkleme yerleştirerek $a$ katsayısını bulabiliriz:

$-24 = a(0 + 2)(0 - 6)$

$-24 = a(2)(-6)$

$-24 = -12a$

Şimdi $a$ değerini bulmak için her iki tarafı $-12$'ye bölelim:

$a = \frac{-24}{-12}$

$a = 2$

• 4. Adım: $a$ katsayısını yerine yazarak parabolün denklemini oluşturalım.

Bulduğumuz $a=2$ değerini genel denklemimize geri yerleştirelim:

$y = 2(x + 2)(x - 6)$

• 5. Adım: Denklemi açarak standart forma getirelim.

Şimdi parantez içindeki ifadeleri çarpalım ve denklemi $y = Ax^2 + Bx + C$ şeklinde standart forma dönüştürelim:

$y = 2(x^2 - 6x + 2x - 12)$

$y = 2(x^2 - 4x - 12)$

Şimdi 2'yi parantez içine dağıtalım:

$y = 2x^2 - 8x - 24$

• 6. Adım: Bulduğumuz denklemi seçeneklerle karşılaştıralım.

Elde ettiğimiz $y = 2x^2 - 8x - 24$ denklemi, A seçeneğinde verilen denklemle aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.