p: "x > 3" ve q: "x² > 9" önermeleri veriliyor. Buna göre p ⇒ q önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tüm x gerçel sayıları için doğrudur
B) Tüm x gerçel sayıları için yanlıştır
C) Bazı x değerleri için doğru, bazıları için yanlıştır
D) Sadece x > 0 için doğrudur
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Mantık konularında önermelerin doğruluk değerlerini dikkatlice incelemek çok önemlidir.
- 1. Önermeleri Anlayalım:
- $p$: "$x > 3$" önermesi, $x$ gerçel sayısının 3'ten büyük olduğunu ifade eder.
- $q$: "$x^2 > 9$" önermesi, $x$ gerçel sayısının karesinin 9'dan büyük olduğunu ifade eder.
- 2. $q$ Önermesini Daha Detaylı İnceleyelim:
- "$x^2 > 9$" eşitsizliğini çözerek $q$ önermesinin hangi $x$ değerleri için doğru olduğunu bulalım.
- $x^2 - 9 > 0$
- $(x-3)(x+3) > 0$
- Bu eşitsizliğin çözümü, $x < -3$ veya $x > 3$ aralıklarıdır.
- Yani, $q$ önermesi, $x$ sayısı $-3$'ten küçük olduğunda veya $3$'ten büyük olduğunda doğrudur.
- $q$ önermesi, $x$ sayısı $-3$ ile $3$ arasında ($-3 \le x \le 3$) olduğunda yanlıştır.
- 3. $p \Rightarrow q$ Önermesinin Doğruluk Değerini Hatırlayalım:
- Bir $p \Rightarrow q$ koşullu önermesi (ise bağlacı), sadece $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
- Yani, $p \Rightarrow q$ önermesinin yanlış olması için, hem $p$ önermesinin doğru olması ($x > 3$) hem de $q$ önermesinin yanlış olması ($-3 \le x \le 3$) gerekir.
- 4. $p \Rightarrow q$ Önermesinin Yanlış Olma Durumunu Araştıralım:
- $p$ önermesinin doğru olduğu durum: $x > 3$.
- $q$ önermesinin yanlış olduğu durum: $-3 \le x \le 3$.
- Şimdi, hem $x > 3$ hem de $-3 \le x \le 3$ koşullarını aynı anda sağlayan bir $x$ gerçel sayısı olup olmadığını düşünelim.
- Eğer $x > 3$ ise, $x$ kesinlikle $3$'ten büyüktür. Bu durumda $x$'in $-3$ ile $3$ arasında olması mümkün değildir. Yani, $x > 3$ ve $-3 \le x \le 3$ koşulları aynı anda sağlanamaz.
- Bu ne anlama geliyor? $p$ önermesinin doğru olduğu ($x > 3$) hiçbir durumda, $q$ önermesi yanlış olamaz. Çünkü $x > 3$ iken, $x^2$ her zaman $3^2=9$'dan büyük olacaktır (yani $q$ önermesi doğru olacaktır).
- 5. Sonuç Çıkaralım:
- $p$ doğru olduğunda ($x > 3$), $q$ da her zaman doğrudur ($x^2 > 9$). Bu durumda (Doğru $\Rightarrow$ Doğru) sonuç Doğru'dur.
- $p$ yanlış olduğunda ($x \le 3$), $p \Rightarrow q$ önermesi tanım gereği her zaman doğrudur (yani (Yanlış $\Rightarrow$ Doğru) veya (Yanlış $\Rightarrow$ Yanlış) durumları da Doğru kabul edilir).
- Bu iki durumu birleştirdiğimizde, $p \Rightarrow q$ önermesinin hiçbir zaman yanlış olamayacağını görürüz. Dolayısıyla, bu önerme tüm $x$ gerçel sayıları için doğrudur.
Cevap A seçeneğidir.
