Yatayla 53° açıyla atılan bir cismin menzil süresi 8 s'dir. Buna göre cismin çıkabildiği maksimum yükseklik kaç metredir? (g = 10 m/s², sin53° = 0,8; cos53° = 0,6)
A) 60Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, yatay atış hareketinde bir cismin menzil süresi verildiğinde, çıkabileceği maksimum yüksekliği bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Cismin menzil süresi (havada kalma süresi), cismin fırlatıldığı noktadan tekrar yere düşene kadar geçen toplam süredir. Bu süre, cismin maksimum yüksekliğe çıkış süresinin iki katıdır. Yani, $T_{menzil} = 2 \cdot t_{çıkış}$ formülünü kullanabiliriz.
Soruda menzil süresi $8 \text{ s}$ olarak verilmiş. O halde:
$8 \text{ s} = 2 \cdot t_{çıkış}$
$t_{çıkış} = \frac{8 \text{ s}}{2} = 4 \text{ s}$
Bu, cismin fırlatıldıktan sonra maksimum yüksekliğe ulaşması için geçen süredir.
Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında, düşey hızı sıfır olur. Düşeydeki hareket, yer çekimi ivmesi ($g$) etkisi altında gerçekleşir. Düşeydeki hız değişimi formülünü kullanarak cismin ilk düşey hız bileşenini ($V_{oy}$) bulabiliriz:
$V_y = V_{oy} - g \cdot t_{çıkış}$
Burada $V_y$ maksimum yükseklikteki düşey hızdır ve $0 \text{ m/s}$'dir. $g = 10 \text{ m/s}^2$ ve $t_{çıkış} = 4 \text{ s}$ değerlerini yerine koyalım:
$0 = V_{oy} - (10 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s})$
$0 = V_{oy} - 40 \text{ m/s}$
$V_{oy} = 40 \text{ m/s}$
Bu, cismin ilk fırlatıldığı andaki düşey hız bileşenidir.
Şimdi cismin çıkabildiği maksimum yüksekliği ($H_{max}$) hesaplayabiliriz. Bunun için düşeydeki yer değiştirme formülünü kullanabiliriz:
$H_{max} = V_{oy} \cdot t_{çıkış} - \frac{1}{2} g \cdot t_{çıkış}^2$
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
$H_{max} = (40 \text{ m/s}) \cdot (4 \text{ s}) - \frac{1}{2} (10 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s})^2$
$H_{max} = 160 \text{ m} - \frac{1}{2} (10 \text{ m/s}^2) \cdot (16 \text{ s}^2)$
$H_{max} = 160 \text{ m} - (5 \text{ m/s}^2) \cdot (16 \text{ s}^2)$
$H_{max} = 160 \text{ m} - 80 \text{ m}$
$H_{max} = 80 \text{ m}$
Alternatif olarak, düşeydeki hız ve yer değiştirme arasındaki ilişkiyi veren formülü de kullanabiliriz:
$V_y^2 = V_{oy}^2 - 2gH_{max}$
$0^2 = (40 \text{ m/s})^2 - 2 \cdot (10 \text{ m/s}^2) \cdot H_{max}$
$0 = 1600 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 20 \text{ m/s}^2 \cdot H_{max}$
$20 \text{ m/s}^2 \cdot H_{max} = 1600 \text{ m}^2/\text{s}^2$
$H_{max} = \frac{1600}{20} \text{ m}$
$H_{max} = 80 \text{ m}$
Her iki yöntemle de cismin çıkabildiği maksimum yüksekliği $80 \text{ metre}$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
