Karmaşık sayının eşleniği nedir Test 1

z = 3 - 4i karmaşık sayısı veriliyor. Buna göre z karmaşık sayısının eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 + 4i
B) -3 + 4i
C) -3 - 4i
D) 4 - 3i

Sevgili öğrenciler, karmaşık sayılar matematikte çok önemli bir yere sahiptir ve eşlenik kavramı da bu sayıların temel özelliklerinden biridir. Şimdi adım adım $z = 3 - 4i$ karmaşık sayısının eşleniğini bulalım.

• 1. Adım: Karmaşık Sayının Yapısını Hatırlayalım

Genel bir karmaşık sayı $z = a + bi$ şeklinde gösterilir. Burada $a$ sayının gerçek (reel) kısmını, $b$ ise sayının sanal (imajiner) kısmını temsil eder. $i$ ise sanal birimdir ve $i^2 = -1$ özelliğine sahiptir.

Bize verilen karmaşık sayı $z = 3 - 4i$ şeklindedir. Bu durumda gerçek kısım $a = 3$ ve sanal kısım $b = -4$ (çünkü $3 + (-4)i$ olarak düşünebiliriz).

• 2. Adım: Karmaşık Sayının Eşleniği Nedir?

Bir karmaşık sayının eşleniği (konjügesi), o sayının sanal kısmının işaretinin değiştirilmesiyle elde edilir. Gerçek kısım aynı kalır.

Yani, eğer bir karmaşık sayı $z = a + bi$ ise, onun eşleniği $\bar{z}$ (z-bar olarak okunur) ile gösterilir ve $\bar{z} = a - bi$ olur.

Eğer sanal kısım zaten negatifse, işaretini değiştirdiğimizde pozitif olacaktır. Örneğin, $z = a - bi$ ise, eşleniği $\bar{z} = a + bi$ olur.

• 3. Adım: Verilen Karmaşık Sayının Eşleniğini Bulalım

Bize verilen karmaşık sayı $z = 3 - 4i$ idi.

• Gerçek kısım $a = 3$ (bu kısım değişmez).
• Sanal kısım $-4i$ (bu kısmın işaretini değiştirmeliyiz).

Sanal kısmın işareti negatif ($ -4i $) olduğu için, işaretini değiştirdiğimizde pozitif ($ +4i $) olacaktır.

Dolayısıyla, $z = 3 - 4i$ karmaşık sayısının eşleniği $\bar{z} = 3 + 4i$ olur.

• 4. Adım: Seçenekleri Kontrol Edelim

Bulduğumuz sonuç olan $3 + 4i$ seçeneği ile karşılaştırdığımızda:

• A) $3 + 4i$
• B) $-3 + 4i$
• C) $-3 - 4i$
• D) $4 - 3i$

Görüldüğü gibi, bulduğumuz eşlenik A seçeneğindeki ifade ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.