P(x) = (x² - 2x + 3)³ · (x + 1)⁴ polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?
A) -64Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, polinomlarda sıkça karşılaştığımız ve oldukça pratik bir yöntemle çözülen bir soru tipini inceleyeceğiz: "Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı". Bu tür soruları çözmek için özel bir formül kullanırız. Haydi, adım adım bu soruyu çözelim!
Bir $P(x)$ polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulmak için kullandığımız formül şudur:
Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı $= rac{P(1) - P(-1)}{2}$
Bu formül, polinomun $x=1$ ve $x=-1$ değerleri için aldığı değerleri kullanarak sonuca ulaşmamızı sağlar. Şimdi bu formülü sorumuzdaki $P(x)$ polinomuna uygulayalım.
Verilen polinom $P(x) = (x^2 - 2x + 3)^3 \cdot (x + 1)^4$. Şimdi $x$ yerine $1$ yazarak $P(1)$ değerini bulalım:
$P(1) = (1^2 - 2(1) + 3)^3 \cdot (1 + 1)^4$
$P(1) = (1 - 2 + 3)^3 \cdot (2)^4$
$P(1) = (2)^3 \cdot 16$
$P(1) = 8 \cdot 16$
$P(1) = 128$
Şimdi de $x$ yerine $-1$ yazarak $P(-1)$ değerini bulalım:
$P(-1) = ((-1)^2 - 2(-1) + 3)^3 \cdot (-1 + 1)^4$
$P(-1) = (1 + 2 + 3)^3 \cdot (0)^4$
$P(-1) = (6)^3 \cdot 0$
$P(-1) = 216 \cdot 0$
$P(-1) = 0$
Gördüğünüz gibi, $(x+1)^4$ çarpanı sayesinde $P(-1)$ değeri doğrudan $0$ oldu. Bu, hesaplamamızı oldukça kolaylaştırdı!
Şimdi bulduğumuz $P(1)$ ve $P(-1)$ değerlerini formülde yerine koyalım:
Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı $= rac{P(1) - P(-1)}{2}$
Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı $= rac{128 - 0}{2}$
Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı $= rac{128}{2}$
Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı $= 64$
Buna göre, polinomun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı $64$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
