Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği ile ilgili verilen iki önemli bilgi var:
- y eksenini $(0, 5)$ noktasında kesiyor: Bu, fonksiyonun $x=0$ olduğunda $y=5$ değerini aldığını gösterir. Yani, $f(0) = 5$ olmalıdır.
- x eksenini kesmiyor: Bu, fonksiyonun hiçbir zaman $y=0$ değerini almadığı anlamına gelir. Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri genellikle bir "V" şeklindedir ve bir tepe noktası (vertex) bulunur. Eğer x eksenini kesmiyorsa, bu "V" şeklindeki grafiğin tamamı x ekseninin üzerinde kalmalıdır. Yani, fonksiyonun alabileceği en küçük değer (minimum değeri) $0$'dan büyük olmalıdır.
Şimdi bu bilgileri kullanarak seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = |x| - 5$
- y-ekseni kesişimi: $x=0$ için $f(0) = |0| - 5 = 0 - 5 = -5$. Bu, y eksenini $(0, -5)$ noktasında kestiği anlamına gelir. Ancak soruda $(0, 5)$ noktasında kesmesi isteniyor. Bu seçenek doğru değildir.
- x-ekseni kesişimi: $f(x) = 0$ için $|x| - 5 = 0 \Rightarrow |x| = 5 \Rightarrow x = 5$ veya $x = -5$. Bu fonksiyon x eksenini keser. Bu da sorudaki "x eksenini kesmiyor" şartına aykırıdır.
- B) $f(x) = |x + 5|$
- y-ekseni kesişimi: $x=0$ için $f(0) = |0 + 5| = |5| = 5$. Bu, y eksenini $(0, 5)$ noktasında kestiği anlamına gelir. Bu, ilk şartı sağlar.
- x-ekseni kesişimi: $f(x) = 0$ için $|x + 5| = 0 \Rightarrow x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$. Bu fonksiyon x eksenini $(-5, 0)$ noktasında keser. Bu, sorudaki "x eksenini kesmiyor" şartına aykırıdır. Bu seçenek doğru değildir.
- C) $f(x) = |x| + 5$
- y-ekseni kesişimi: $x=0$ için $f(0) = |0| + 5 = 0 + 5 = 5$. Bu, y eksenini $(0, 5)$ noktasında kestiği anlamına gelir. Bu, ilk şartı sağlar.
- x-ekseni kesişimi: $f(x) = 0$ için $|x| + 5 = 0 \Rightarrow |x| = -5$. Mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz. Bu denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur. Dolayısıyla, bu fonksiyon x eksenini kesmez. Bu, ikinci şartı da sağlar.
- D) $f(x) = |x - 5|$
- y-ekseni kesişimi: $x=0$ için $f(0) = |0 - 5| = |-5| = 5$. Bu, y eksenini $(0, 5)$ noktasında kestiği anlamına gelir. Bu, ilk şartı sağlar.
- x-ekseni kesişimi: $f(x) = 0$ için $|x - 5| = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$. Bu fonksiyon x eksenini $(5, 0)$ noktasında keser. Bu, sorudaki "x eksenini kesmiyor" şartına aykırıdır. Bu seçenek doğru değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, her iki şartı da sağlayan tek seçenek C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
