Soru:
Konik projeksiyon yönteminde, projeksiyon yüzeyi olan koninin tepe açısı \( \alpha \) ve Dünya'nın yarıçapı \( R \) olarak veriliyor. Standart bir paralelin enlemi \( \phi \) ise, koninin tepe açısı \( \alpha \) ile standart paralel enlemi \( \phi \) arasındaki matematiksel ilişki nedir? (İpucu: Koninin açılımındaki yay uzunluğu, standart paralelin çevresine eşittir.)
Çözüm:
💡 Bu soru, projeksiyon yöntemlerinin arkasındaki matematiksel temeli anlamamızı sağlar. Konik projeksiyonda, koni genellikle bir veya iki standart paralel boyunca Dünya'ya teğet veya kesen olarak yerleştirilir.
- ➡️ Adım 1: Koniyi açtığımızda bir daire dilimi elde ederiz. Bu daire diliminin (koninin yan yüzeyinin) taban çevresi, haritanın doğru çizildiği standart paralelin çevresine eşit olmalıdır.
- ➡️ Adım 2: Standart paralelin yarıçapını (\( r \)) bulalım. Dünya küre kabul edilirse, bir enlemdeki paralelin yarıçapı \( r = R \cos(\phi) \) formülüyle bulunur.
- ➡️ Adım 3: Standart paralelin çevresi: \( 2\pi r = 2\pi R \cos(\phi) \).
- ➡️ Adım 4: Açılmış koni bir daire dilimidir. Bu dilimin yarıçapı koninin ana doğrusudur, buna \( L \) diyelim. Dilimin yay uzunluğu (koninin taban çevresi) ise \( L \alpha \) radyan cinsinden ifade edilir. Bu uzunluk, standart paralelin çevresine eşittir: \( L \alpha = 2\pi R \cos(\phi) \).
- ➡️ Adım 5: Koninin ana doğrusu (\( L \)) ile Dünya'nın yarıçapı (\( R \)) ve standart paralel (\( \phi \)) arasında bir ilişki vardır. Basit bir modelde, koni Dünya'ya teğet ise \( L = R \cot(\phi) \) olarak alınabilir. Ancak genel ilişki, yay uzunluğu eşitliğinden gelir: \( \alpha = \frac{2\pi R \cos(\phi)}{L} \).
✅ Sonuç: Konik projeksiyonda, koninin tepe açısı (\( \alpha \)), Dünya yarıçapı (\( R \)), koninin ana doğru uzunluğu (\( L \)) ve standart paralel enlemi (\( \phi \)) arasındaki temel ilişki \( L \alpha = 2\pi R \cos(\phi) \) şeklindedir. Bu, projeksiyonun geometrik temelini oluşturur.
