Soru: Aşağıda denklemleri verilen iki parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
$y = x^2 - 4x + 3$
$y = -x^2 - 2x + 5$
A) $\sqrt{50}$
B) $\sqrt{58}$
C) $\sqrt{65}$
D) $7$
Çözüm:
Öncelikle her iki parabolün tepe noktalarını bulalım.
Bir parabolün tepe noktasının koordinatları $T(r, k)$ olmak üzere, $r = -b/(2a)$ ve $k = f(r)$ formülleriyle bulunur.
1. Parabol: $y = x^2 - 4x + 3$
Burada $a=1$, $b=-4$, $c=3$.
Tepe noktasının x-koordinatı: $r_1 = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.
Tepe noktasının y-koordinatı: $k_1 = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Birinci parabolün tepe noktası $T_1(2, -1)$'dir.
2. Parabol: $y = -x^2 - 2x + 5$
Burada $a=-1$, $b=-2$, $c=5$.
Tepe noktasının x-koordinatı: $r_2 = -(-2) / (2 \cdot -1) = 2 / -2 = -1$.
Tepe noktasının y-koordinatı: $k_2 = -(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -(1) + 2 + 5 = 6$.
İkinci parabolün tepe noktası $T_2(-1, 6)$'dır.
Şimdi $T_1(2, -1)$ ve $T_2(-1, 6)$ noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülüyle bulalım:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$d = \sqrt{(-1-2)^2 + (6-(-1))^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (7)^2}$
$d = \sqrt{9 + 49}$
$d = \sqrt{58}$ birimdir.
Doğru Cevap: B)
