İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için öncelikle eşitsizliği sağlayan kökleri bulmamız gerekir.
Adım 1: Kökleri Bulma
Verilen eşitsizlik $x^2 - 3x - 10 < 0$'dır. Eşitsizliği bir denkleme dönüştürerek köklerini bulalım:
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-10$, toplamları $-3$ olan iki sayı $-5$ ve $2$'dir.
$(x - 5)(x + 2) = 0$
Bu durumda denklemin kökleri:
$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Bulduğumuz kökleri sayı doğrusu üzerinde küçükten büyüğe doğru sıralayarak işaret tablosu oluşturalım. $x^2 - 3x - 10$ ifadesinin baş katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için, en sağdaki aralıkta pozitif işaretle başlarız ve her kökte işaret değiştiririz.
| $x$ | $-2$ | $5$ | |||
| $x^2 - 3x - 10$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz $x^2 - 3x - 10 < 0$ şeklindeydi, yani ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz. İşaret tablosuna baktığımızda, ifadenin negatif olduğu aralık $(-2, 5)$ aralığıdır.
Kökler eşitsizliği sağlamadığı için (çünkü eşitsizlikte "eşitlik" durumu yoktur, yani $< 0$), çözüm kümesinde kökler dahil değildir. Bu yüzden açık aralık kullanılır.
Bu nedenle, çözüm kümesi $(-2, 5)$'tir.
