Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin var olabilmesi için, o noktadaki soldan limitinin ve sağdan limitinin birbirine eşit olması gerekir.
Öncelikle $f(x)$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki soldan limitini hesaplayalım. $x$ değerleri $2$'ye soldan yaklaşırken $x<2$ koşulu geçerli olduğundan, $f(x) = x^2+2x+1$ ifadesi kullanılır.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2+2x+1)$
Bu bir polinom fonksiyonu olduğu için, limit değeri $x=2$ yerine konularak bulunur:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = (2)^2 + 2 \cdot (2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$
Şimdi de $f(x)$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki sağdan limitini hesaplayalım. $x$ değerleri $2$'ye sağdan yaklaşırken $x \ge 2$ koşulu geçerli olduğundan, $f(x) = kx-1$ ifadesi kullanılır.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (kx-1)$
Bu da bir polinom fonksiyonu olduğu için, limit değeri $x=2$ yerine konularak bulunur:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = k \cdot (2) - 1 = 2k - 1$
$\lim_{x \to 2} f(x)$ limitinin var olabilmesi için soldan limitin sağdan limite eşit olması gerekir:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$
$9 = 2k - 1$
Şimdi bu denklemi $k$ için çözelim:
$9 + 1 = 2k$
$10 = 2k$
$k = \frac{10}{2}$
$k = 5$
Bu durumda, limitin var olabilmesi için $k$ gerçel sayısı $5$ olmalıdır.
