12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Çözümlü Sorular

Verilen fonksiyon $f(x) = (2x^2 - x + 3)(x^3 + 4x) - 7x + 5$ şeklindedir.

Bu fonksiyonun türevini bulmak için çarpım kuralı ve toplam/fark kuralını kullanacağız.

Öncelikle $g(x) = (2x^2 - x + 3)(x^3 + 4x)$ kısmının türevini bulalım. Burada $u(x) = 2x^2 - x + 3$ ve $v(x) = x^3 + 4x$ diyelim.

Türev kurallarına göre:

• $u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 3) = 2 \cdot (2x^{2-1}) - 1 \cdot (1x^{1-1}) + 0 = 4x - 1$
• $v'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 4x) = 3x^{3-1} + 4 \cdot (1x^{1-1}) = 3x^2 + 4$

Çarpım kuralı $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ şeklindedir. Buna göre $g'(x)$ ifadesini yazalım:

$g'(x) = (4x - 1)(x^3 + 4x) + (2x^2 - x + 3)(3x^2 + 4)$

Şimdi bu ifadeyi açalım ve düzenleyelim:

• $(4x - 1)(x^3 + 4x) = 4x \cdot x^3 + 4x \cdot 4x - 1 \cdot x^3 - 1 \cdot 4x = 4x^4 + 16x^2 - x^3 - 4x$
• $(2x^2 - x + 3)(3x^2 + 4) = 2x^2 \cdot 3x^2 + 2x^2 \cdot 4 - x \cdot 3x^2 - x \cdot 4 + 3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 4$
• $= 6x^4 + 8x^2 - 3x^3 - 4x + 9x^2 + 12$

Bu iki ifadeyi toplayalım:

$g'(x) = (4x^4 + 16x^2 - x^3 - 4x) + (6x^4 + 8x^2 - 3x^3 - 4x + 9x^2 + 12)$

Benzer terimleri birleştirelim:

$g'(x) = (4x^4 + 6x^4) + (-x^3 - 3x^3) + (16x^2 + 8x^2 + 9x^2) + (-4x - 4x) + 12$

$g'(x) = 10x^4 - 4x^3 + 33x^2 - 8x + 12$

Şimdi orijinal fonksiyona geri dönelim: $f(x) = g(x) - 7x + 5$.

Toplam/fark kuralına göre $f'(x) = g'(x) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(5)$ olur.

• $\frac{d}{dx}(7x) = 7 \cdot 1 = 7$
• $\frac{d}{dx}(5) = 0$ (sabit terimin türevi sıfırdır)

O halde $f'(x)$ ifadesi:

$f'(x) = (10x^4 - 4x^3 + 33x^2 - 8x + 12) - 7 + 0$

$f'(x) = 10x^4 - 4x^3 + 33x^2 - 8x + 5$

Doğru cevap A seçeneğidir.