12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Çözümlü Sorular

Bir $f$ fonksiyonunun bir $x_0$ noktasında sürekli olabilmesi için üç şartın sağlanması gerekir:

• $f(x_0)$ tanımlı olmalıdır.
• $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ ve $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ limitleri var olmalı ve birbirine eşit olmalıdır (yani $\lim_{x \to x_0} f(x)$ limiti var olmalıdır).
• $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ eşitliği sağlanmalıdır.

Verilen $f(x)$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında sürekli olduğu belirtilmiştir. Bu durumda yukarıdaki şartları $x_0=1$ için uygulamalıyız.

Öncelikle $f(1)$ değerini bulalım:

$f(1) = 5$ (fonksiyonun $x=1$ noktasındaki tanımı).

Şimdi $x=1$ noktasındaki sol limitini bulalım:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax+1)$ (çünkü $x < 1$ için $ax+1$ kullanılır).

Limit alma işlemiyle:

$\lim_{x \to 1^-} (ax+1) = a(1)+1 = a+1$.

Ardından $x=1$ noktasındaki sağ limitini bulalım:

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2+b)$ (çünkü $x > 1$ için $x^2+b$ kullanılır).

Limit alma işlemiyle:

$\lim_{x \to 1^+} (x^2+b) = (1)^2+b = 1+b$.

Süreklilik şartına göre, sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

$a+1 = 1+b = 5$.

Bu eşitlikleri ayrı ayrı inceleyelim:

1. $a+1 = 5$

$a = 5-1$

$a = 4$.

2. $1+b = 5$

$b = 5-1$

$b = 4$.

Son olarak, bizden istenen $a+b$ değerini bulalım:

$a+b = 4+4 = 8$.