Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve sol türevinin sağ türevine eşit olması gerekir.
1. Süreklilik şartı:
$f(x)$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında sürekli olması için $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ olmalıdır.
Sol limit: $\lim_{x \to 1^-} (ax^2 + 3x) = a(1)^2 + 3(1) = a + 3$
Sağ limit ve fonksiyon değeri: $\lim_{x \to 1^+} (x^3 + bx) = (1)^3 + b(1) = 1 + b$
Bu değerler eşit olmalıdır:
$a + 3 = 1 + b$
$a - b = -2$ (Denklem 1)
2. Türevlenebilirlik şartı (Sol türev = Sağ türev):
Öncelikle fonksiyonun parçalarının türevlerini alalım:
$f'(x) = \begin{cases} 2ax + 3, & x < 1 \\ 3x^2 + b, & x > 1 \end{cases}$
Not: Parçalı fonksiyonlarda türev alırken eşitsizlikleri dikkatli kullanırız. Türev noktasında, sol ve sağ türevleri karşılaştırırken bu formülleri kullanırız.
Sol türev: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 2a(1) + 3 = 2a + 3$
Sağ türev: $\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 3(1)^2 + b = 3 + b$
Bu türevler eşit olmalıdır:
$2a + 3 = 3 + b$
$2a = b$ (Denklem 2)
Şimdi Denklem 2'yi Denklem 1'de yerine koyalım:
$a - b = -2$
$a - (2a) = -2$
$-a = -2$
$a = 2$
$a$ değerini Denklem 2'de yerine koyarak $b$ değerini bulalım:
$b = 2a = 2 \cdot 2 = 4$
Son olarak bizden istenen $a \cdot b$ değerini hesaplayalım:
$a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8$
