Merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Denklemi \( x^2 + y^2 = 1 \)'dir.
Trigonometride açılar derece ve radyan ile ölçülür. Birim çember üzerinde bir açının radyan ölçüsü, o açının gördüğü yayın uzunluğuna eşittir.
Esas Ölçü: \( 0^\circ \leq \alpha < 360^\circ \) (veya \( 0 \leq \alpha < 2\pi \) radyan) aralığındaki bir açıya, o açının esas ölçüsü denir.
Birim çember üzerinde, başlangıç kenarı pozitif x-ekseni olan bir \( \alpha \) açısı alalım. Bu açının bitim kenarının birim çemberi kestiği nokta \( P(x, y) \) olsun.
Bu tanımlara göre, bir açının sinüs ve kosinüs değerleri her zaman \( -1 \) ile \( +1 \) arasındadır.
Birim çember dört bölgeye ayrılır. Açının bitim kenarının bulunduğu bölge, trigonometrik fonksiyonların işaretini belirler.
Bu işaretleri hatırlamak için "All Students Take Calculus" (Tüm Öğrenciler Kalkülüs Alır) ifadesi kullanılabilir. Her kelimenin ilk harfi sırasıyla hangi bölgede hangi fonksiyonun pozitif olduğunu gösterir: All (Hepsi), Sine (Sinüs), Tangent (Tanjant), Cosine (Kosinüs).
Birim çember denkleminden (\( x^2 + y^2 = 1 \)) ve trigonometrik fonksiyon tanımlarından aşağıdaki önemli özdeşlikler elde edilir.
Soru 1: Birim çember üzerinde, apsis değeri ordinat değerinden büyük olan bir nokta seçiliyor. Bu noktanın yer vektörünün yaptığı açı \( \theta \) için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) \( \sin\theta > \cos\theta \)
b) \( \cos\theta > \sin\theta \)
c) \( \tan\theta > 1 \)
d) \( \cot\theta > 1 \)
e) \( \sec\theta > \csc\theta \)
Cevap: b) \( \cos\theta > \sin\theta \)
Çözüm: Birim çemberde bir noktanın koordinatları \( (\cos\theta, \sin\theta) \)'dır. Apsis (cos) değerinin ordinat (sin) değerinden büyük olması istenmiştir. Bu durumda \( \cos\theta > \sin\theta \) kesinlikle doğrudur. Diğer seçeneklerdeki trigonometrik ifadelerin büyüklük karşılaştırması, açının bulunduğu bölgeye göre değişiklik gösterebilir ve kesin değildir.
Soru 2: \( \theta \) bir dar açı olmak üzere, birim çember üzerindeki karşılık gelen nokta \( P(\frac{1}{3}, k) \)'dir. Buna göre, \( \tan\theta + \cot\theta \) ifadesinin değeri kaçtır?
a) \( \frac{9}{2\sqrt{2}} \)
b) \( \frac{10}{3} \)
c) \( \frac{3\sqrt{2}}{4} \)
d) \( \frac{9}{4} \)
e) \( \frac{5}{2} \)
Cevap: a) \( \frac{9}{2\sqrt{2}} \)
Çözüm: Birim çemberde \( \cos\theta = \frac{1}{3} \) ve \( \sin\theta = k \)'dır. Birim çember denklemi \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \) olduğundan, \( (\frac{1}{3})^2 + k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{8}{9} \Rightarrow k = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) (açı dar olduğu için sin pozitiftir). \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2} \), \( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \). Toplamları: \( 2\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{8 + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} \).
Soru 3: \( \alpha \) ve \( \beta \) açıları birim çember üzerinde sırasıyla II. ve III. bölgededir. \( |\sin\alpha| = |\cos\beta| \) olduğu biliniyor. Buna göre, \( \alpha \) ve \( \beta \) açıları arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \alpha + \beta = 180^\circ \)
b) \( \alpha + \beta = 270^\circ \)
c) \( \alpha - \beta = 90^\circ \)
d) \( \beta - \alpha = 90^\circ \)
e) \( \alpha + \beta = 360^\circ \)
Cevap: b) \( \alpha + \beta = 270^\circ \)
Çözüm: II. bölgede \( \sin\alpha \) pozitif, III. bölgede \( \cos\beta \) negatiftir. Mutlak değerler eşitse \( \sin\alpha = -\cos\beta \) yazılabilir. \( -\cos\beta = \sin(270^\circ - \beta) \) veya \( \cos\beta = -\sin(\beta - 90^\circ) \) gibi dönüşümler yapılabilir. Ancak en bilinen ilişki \( \sin x = \cos(90^\circ - x) \)'tir. Buradan \( \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) \). Eşitlik \( \cos(90^\
