10. Sınıf Doğrunun Eğimi Nasıl Hesaplanır?

Question

Doğrunun eğimini hesaplamak için formülü biliyorum ama hangi noktaları seçmem gerektiğinde bazen karıştırıyorum. Ayrıca, eğimin negatif veya pozitif çıkması bana ne ifade ediyor, onu tam olarak anlayamadım.

Answer 1

Doğrunun Eğimi

Analitik geometride bir doğrunun eğimi, o doğrunun yatay eksenle (x-ekseni) yaptığı açının tanjant değeridir ve genellikle m harfi ile gösterilir. Eğim, bir doğrunun ne kadar dik veya yatay olduğunu sayısal olarak ifade etmemizi sağlar.

Eğim Nasıl Hesaplanır?

Bir doğrunun eğimini bulmak için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz.

1. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi

Doğru üzerinde herhangi iki nokta biliyorsak, eğim aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Bu formülde;

• (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) doğru üzerindeki iki farklı noktanın koordinatlarıdır.
• Paydaki "y₂ - y₁" ifadesi dikey değişimi (yükseklik farkı),
• Paydadaki "x₂ - x₁" ifadesi ise yatay değişimi (uzunluk farkı) temsil eder.

Örnek: A(2, 3) ve B(5, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

• x₁ = 2, y₁ = 3
• x₂ = 5, y₂ = 9
• \( m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \)

Bu doğrunun eğimi 2'dir.

2. Denklemi Verilen Doğrunun Eğimi

Doğrunun denklemi eğim-kesim noktası formunda (y = mx + n) verilmişse, eğim doğrudan x'in katsayısıdır.

Örnek: y = -4x + 7 denklemiyle verilen doğrunun eğimi, x'in katsayısı olan -4'tür.

Eğer doğrunun denklemi ax + by + c = 0 gibi standart formda verilmişse, denklemi y = mx + n formuna dönüştürerek m'yi yalnız bırakırız.

Örnek: 2x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eğimini bulalım.

• Önce y'yi yalnız bırakalım: 3y = -2x + 6
• Her iki tarafı 3'e bölelim: \( y = \frac{-2}{3}x + 2 \)
• x'in katsayısı \( \frac{-2}{3} \) olduğundan, eğim \( m = \frac{-2}{3} \)'tür.

Eğimin Yorumlanması

• Pozitif Eğim (m > 0): Doğru sağa yatıktır. x değerleri arttıkça y değerleri de artar. (Yükselen bir doğru)
• Negatif Eğim (m < 0): Doğru sola yatıktır. x değerleri arttıkça y değerleri azalır. (Alçalan bir doğru)
• Sıfır Eğimi (m = 0): Doğru yataydır (x-eksenine paralel).
• Tanımsız Eğim: Doğru dikeydir (y-eksenine paralel). Bu durum, formülde paydanın (x₂ - x₁) sıfır olmasından kaynaklanır ve eğim bir sayı olarak if

Answer 2

10. Sınıf Doğrunun Eğimi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Analitik düzlemde A(2, 5) ve B(6, 13) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: b) 2
Çözüm: İki noktası bilinen doğrunun eğimi formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)'dir. Buna göre, \( m = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2 \) olarak bulunur.

Soru 2: \( 4x - 2y + 6 = 0 \) doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) -2   b) 2   c) 4   d) -4   e) 1/2
Cevap: b) 2
Çözüm: Doğru denklemini \( y = mx + n \) formuna getirerek eğimi (\( m \)) bulabiliriz. \( 4x + 6 = 2y \) → \( y = 2x + 3 \). Denklemde \( x \)'in katsayısı olan 2, doğrunun eğimidir.

Soru 3: Eğimi -3 olan ve y eksenini 7 noktasında kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( y = 3x + 7 \)   b) \( y = -3x - 7 \)   c) \( y = -3x + 7 \)   d) \( y = 7x - 3 \)   e) \( y = \frac{1}{3}x + 7 \)
Cevap: c) \( y = -3x + 7 \)
Çözüm: Doğrunun denklemi \( y = mx + n \) formatındadır. Eğim (\( m \)) = -3 ve y-ekseni kesim noktası (\( n \)) = 7 olduğundan denklem \( y = -3x + 7 \) olur.

Soru 4: Aşağıdaki grafikte verilen d doğrusunun eğimi için ne söylenebilir?
(Grafik: Sol üstten sağ alta doğru inen bir doğru)
a) Pozitiftir   b) Negatiftir   c) 0'dır   d) Tanımsızdır   e) 1'dir
Cevap: b) Negatiftir
Çözüm: Sol üstten sağ alta doğru inen bir doğrunun eğimi negatiftir. Çünkü \( x \) değerleri artarken \( y \) değerleri azalmaktadır (\( \frac{\Delta y}{\Delta x} < 0 \)).