10. Sınıf Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

Question

Doğrunun eğimini ve üzerindeki bir noktayı kullanarak denklemi nasıl yazacağımı tam olarak anlayamadım. Eğim ile noktanın koordinatlarını denklemde nereye yazmam gerektiği karıştırıyor. Formülü ezberlemek yerine mantığını kavramak istiyorum.

Answer 1

Eğim ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

Analitik geometride, bir doğrunun denklemini yazabilmek için genellikle iki bilgiye ihtiyaç duyarız: eğim ve doğru üzerindeki herhangi bir nokta. Bu iki bilgiyi birleştirerek doğrunun denklemini kolayca bulabiliriz.

Eğim (m) Nedir?

Bir doğrunun yatayla yaptığı açının tanjant değerine veya "dikey değişimin yatay değişime oranına" eğim denir ve genellikle m harfi ile gösterilir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Eğim, doğrunun yönü hakkında bize bilgi verir:

• m > 0 ise doğru sağa yukarı yöneliktir (artandır).
• m < 0 ise doğru sağa aşağı yöneliktir (azalandır).
• m = 0 ise doğru x eksenine paraleldir (yatay doğru).
• Eğim tanımsız ise (payda sıfır) doğru y eksenine paraleldir (dikey doğru).

Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

Eğimi m olan ve \( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen bir doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Bu forma doğrunun nokta-eğim formu denir. Denklemi bulmak için verilen noktanın koordinatlarını (\(x_1\), \(y_1\)) ve eğimi (m) formülde yerine koymak yeterlidir.

Çözüm Adımları ve Örnek

Örnek: Eğimi 2 olan ve A(1, 5) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.

Adım 1: Verilenleri belirleyelim.

• Eğim (m) = 2
• Nokta: \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 5 \)

Adım 2: Nokta-eğim formülünü yazalım. \( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Adım 3: Verilenleri formülde yerine koyalım. \( y - 5 = 2(x - 1) \)

Adım 4 (İsteğe Bağlı): Denklemi düzenleyip farklı formlara getirebiliriz.

• Eğim-Kesim Noktası Formu (y = mx + n):

  \( y - 5 = 2x - 2 \)

  \( y = 2x - 2 + 5 \)

  \( y = 2x + 3 \)

• Standart Form (Ax + By + C = 0):

  \( y = 2x + 3 \)

  \( -2x + y - 3 = 0 \) (Her iki tarafı -1 ile çarparsak)

  \( 2x - y + 3 = 0 \)

Sonuç olarak, istenen doğrunun denklemi y = 2x + 3 veya 2x - y + 3 = 0 şeklindedir.

Önemli Uyarı

Doğru üzerindeki herhangi bir nokta bu denklemi sağlamak zorundadır. Bulduğumuz den

Answer 2

10. Sınıf Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Analitik düzlemde A(2, -1) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a) y = 3x - 7
b) y = 3x + 5
c) y = 3x - 5
d) y = 3x + 7
e) y = 3x - 1
Cevap: A
Çözüm: Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi: y - y₁ = m(x - x₁) formülü ile bulunur. A(2, -1) ve m=3 değerleri yerine yazılırsa; y - (-1) = 3(x - 2) → y + 1 = 3x - 6 → y = 3x - 7 elde edilir.

Soru 2: Eğimi -2 olan ve B(-3, 4) noktasından geçen doğru, y eksenini hangi noktada keser?
a) (0, 2)
b) (0, -2)
c) (0, 10)
d) (0, -10)
e) (0, -8)
Cevap: B
Çözüm: Önce doğrunun denklemi yazılır: y - 4 = -2(x - (-3)) → y - 4 = -2(x + 3) → y - 4 = -2x - 6 → y = -2x - 2. Bir doğrunun y eksenini kestiği noktada x=0 olur. y = -2(0) - 2 = -2. Bu durumda doğru y eksenini (0, -2) noktasında keser.

Soru 3: Eğimi \( \frac{1}{2} \) olan ve C(4, k) noktasından geçen doğrunun denklemi y = \( \frac{1}{2} \)x - 3'tür. Buna göre k değeri kaçtır?
a) -1
b) 1
c) -2
d) 2
e) 0
Cevap: A
Çözüm: C(4, k) noktası, doğru denklemini sağlamalıdır. Denklemde x yerine 4 yazılarak y (yani k) bulunur: k = \( \frac{1}{2} \)(4) - 3 → k = 2 - 3 → k = -1.