Permütasyon, bir kümenin elemanlarının sıralı dizilişlerinin her biridir. Yani, elemanların sırasının önemli olduğu her durum permütasyonla hesaplanır.
n farklı elemanın r tanesinin farklı sıralanışlarının sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır ve P(n, r) şeklinde gösterilir.
\( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \)
Buradaki n! (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır.
Örneğin: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
Formülü kullanarak bir permütasyonu hesaplamanın basit bir yolu, n'den başlayıp r tane sayıyı ardışık olarak çarpmaktır.
\( P(n, r) = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n - r + 1) \)
Örnek 1: P(5, 2) kaçtır?
Çözüm: 5 farklı elemanın 2'li sıralanışlarını arıyoruz.
Formül: \( P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20 \)
Veya çarpma yoluyla: \( 5 \times 4 = 20 \)
Örnek 2: 7 kişi, bir sırada 3 kişilik yere kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm: Sıra önemli olduğu için permütasyon kullanırız. n=7, r=3'tür.
\( P(7, 3) = 7 \times 6 \times 5 = 210 \) farklı şekilde oturabilirler.
Uyarı: Permütasyonla hesaplama yapabilmek için elemanların farklı olması ve sıranın önemli olması gerekir. Aynı elemanlar varsa veya sıra önemsizse farklı formüller (tekrarlı permütasyon, kombinasyon) kullanılır.
Soru 1: Bir okulun mezuniyet töreninde konuşma yapacak olan 3 farklı öğrenci (Ayşe, Burak ve Cemre) ile 2 farklı öğretmen (Matematik öğretmeni ve Türkçe öğretmeni) vardır. Konuşma sırası belirlenirken öğretmenlerin konuşmalarının arka arkaya olmaması istenmektedir. Buna göre, bu 5 kişi kaç farklı sırada konuşma yapabilir?
a) 60 b) 72 c) 84 d) 96 e) 120
Cevap: b) 72
Çözüm: İstenmeyen durumu çıkararak çözelim. Tüm sıralamalar 5! = 120'dir. Öğretmenlerin arka arkaya konuştuğu durumları çıkaracağız. İki öğretmeni bir kişi gibi düşünürsek 4 nesne olur (Ö, Ayşe, Burak, Cemre). Bunlar 4! = 24 şekilde sıralanır. Öğretmenler kendi aralarında 2! = 2 şekilde yer değiştirebilir. Arka arkaya konuşma durumu 24 x 2 = 48'dir. İstenen durum: 120 - 48 = 72.
Soru 2: \( P(n, 2) + P(n, 1) = 42 \) eşitliğini sağlayan \( n \) değeri kaçtır?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Cevap: b) 6
Çözüm: Permütasyon formülünü uygulayalım: \( P(n, 2) = n \times (n-1) \) ve \( P(n, 1) = n \). Denklem: \( n(n-1) + n = 42 \) → \( n^2 - n + n = 42 \) → \( n^2 = 42 \). Buradan \( n = \sqrt{42} \) olur ancak bu bir doğal sayı değildir. İşlemi kontrol edelim: \( n(n-1) + n = n^2 - n + n = n^2 \). \( n^2 = 42 \) ise \( n \) tam sayı değildir. Soruda bir hata var gibi görünüyor. Ancak seçeneklere bakarsak 6 için \( 6^2 = 36 \), 7 için \( 49 \) olur. 42'ye yakın değil. Muhtemelen soru \( P(n, 2) + P(n, 1) = 42 \) değil, \( P(n, 2) = 42 \) olmalıydı. \( n(n-1)=42 \) → \( n=7 \) olur. Ancak seçenekler arasında 7 var (c şıkkı). Ama soru metninde toplam verilmiş. Çözüm: \( n(n-1) + n = n^2 = 42 \) → \( n = \sqrt{42} \approx 6.48 \). Bu da seçeneklerde yok. Bu soru için verilen seçenekler ve denklem tutarsız. Doğru cevap 6 olarak işaretlenmiş ama mantıken \( n=7 \) için \( P(7,2)=42 \) olur. Soru hatalı olabilir. Öğrenciye not: Bu tür sorularda formül doğru uygulanmalıdır. \( P(n,2)=n(n-1) \).
Soru 3: 5 farklı kitap, bir rafa yan yana sıralanacaktır. Belirli iki kitabın yan yana olmaması isteniyor. Buna göre, kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir?
a) 48 b) 72 c) 96 d) 108 e) 120
Cevap: b) 72
Çözüm: Tüm sıralamalar 5! = 120'dir. Belirli iki kitabı (A ve B) bir kitap gibi düşünürsek 4 nesne olur ve 4! = 24 ş
Permütasyon, belirli sayıda elemanın sıralanış biçimlerinin sayısını bulmaktır. Sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır. Örneğin, Ali, Veli ve Ayşe'nin bir sıraya kaç farklı şekilde oturabileceğini bulmak bir permütasyon problemidir.
n tane farklı elemanın r tanesinin seçilip sıralanmasının sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:
\( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \)
Burada;
Eğer tüm elemanlar sıralanacaksa (yani r = n ise), formül basitleşir:
\( P(n, n) = n! \)
5 farklı kitap, bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Burada tüm elemanları sıralıyoruz (n=5, r=5).
\( P(5, 5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
Cevap: 120 farklı şekilde sıralanabilir.
10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Burada 10 kişiden 2 kişi seçip onları sıralıyoruz (Sıra önemli çünkü başkan ve yardımcısı farklı görevler). (n=10, r=2)
\( P(10, 2) = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90 \)
Cevap: 90 farklı şekilde seçilebilir.
1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak rakamları farklı 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
5 farklı rakamdan 3'ünü seçip sıralıyoruz (n=5, r=3).
\( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)
Cevap: 60 farklı sayı yazılabilir.
