# 📐 11. Sınıf Analitik Geometri: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü
🎯 Konuya Giriş
Analitik geometri, matematiğin en heyecan verici alanlarından biridir. Bu derste, koordinat düzleminde verilen iki nokta arasındaki mesafeyi nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. Bu formül, harita üzerinde iki şehir arasındaki kuş uçuşu mesafeyi bulmaya benzer!
📏 Formülün Mantığı ve İspatı
Formül, ünlü Pisagor Teoremi'ne dayanır. Koordinat düzlemindeki iki noktayı birleştirdiğimizde, aslında bir dik üçgenin hipotenüsünü çizmiş oluruz.
🔍 Adım Adım İspat:
- 🎯 A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını alalım
- 📐 Bu iki noktadan eksenlere paralel çizgiler çizdiğimizde bir dik üçgen oluşur
- 📏 Dik kenarların uzunlukları: |x₂ - x₁| ve |y₂ - y₁| olur
- ✨ Pisagor Teoremine göre: |AB|² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
🧮 İki Nokta Arası Uzaklık Formülü
İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
|AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
Matematiksel gösterimle: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
📝 Örnek Çözüm
Örnek 1:
A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.
- 📌 Adım 1: x farkını bul: 5 - 2 = 3
- 📌 Adım 2: y farkını bul: 7 - 3 = 4
- 📌 Adım 3: Karelerini al: 3² = 9, 4² = 16
- 📌 Adım 4: Topla: 9 + 16 = 25
- 📌 Adım 5: Karekökünü al: √25 = 5
- ✅ Sonuç: |AB| = 5 birim
Örnek 2:
K(-1, 2) ve L(3, -1) noktaları arasındaki uzaklık:
\( d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) birim
💡 Pratik İpuçları
- ✅ Formülü ezberlemek yerine, Pisagor bağlantısını anlamaya çalış
- ✅ Koordinatları formüle yerleştirirken işaretlere dikkat et
- ✅ Negatif sayıların karesinin pozitif olduğunu unutma
- ✅ Sonucun her zaman pozitif veya sıfır olacağını hatırla
🎯 Önemli Notlar
- 📌 Aynı noktalar arasındaki uzaklık sıfırdır (A ile A noktası)
- 📌 Formül, noktaların hangi bölgede olduğuna bakmaksızın çalışır
- 📌 Uzaklık birimi, koordinat sistemindeki birimle aynıdır
- 📌 Bu formül, geometri ve fizik problemlerinde sıkça kullanılır
🔗 Gerçek Hayat Bağlantısı
Bu formülü kullanarak:
- 📍 Haritada iki şehir arası kuş uçuşu mesafe
- 🏀 Basketbol sahasında pota ile serbest atış çizgisi arası mesafe
- 📱 GPS sistemlerinde konumlar arası mesafe hesaplama
- 🎮 Bilgisayar oyunlarında karakterler arası mesafe belirleme
📚 Ödev: A(0, 4), B(3, 0), C(-2, -3) noktaları veriliyor. |AB|, |BC| ve |AC| uzunluklarını hesaplayınız. Hangi iki nokta birbirine en yakındır?
✨ Unutma: Matematik, formülleri ezberlemek değil, mantığını anlamaktır. Bu formülün arkasındaki Pisagor mantığını kavradıysan, analitik geometrinin diğer konularında da başarılı olacaksın!
