🧠 12. Sınıf Mantık Konu Anlatımı: Önermelerden Nicelemeye
Sevgili öğrenciler, bu ders notumuzda 12. sınıf Mantık dersinin temel konularını, tanımları, kuralları ve formülleriyle birlikte adım adım işleyeceğiz. Mantık, doğru düşünmenin ve sağlam argümanlar kurmanın bilimidir. Bu notlar, hem müfredatı takip etmenize hem de konuları derinlemesine anlamanıza yardımcı olacaktır.
📌 Bölüm 1: Önermeler Mantığı
Önerme: Doğru (1) ya da yanlış (0) olabilen kesin hüküm bildiren ifadelere denir. p, q, r gibi sembollerle gösterilir.
🔀 Temel Mantık Bağlaçları ve Doğruluk Tabloları
- Değil (¬): Bir önermenin olumsuzu. \( p \) doğru ise \( \neg p \) yanlıştır.
- Ve (∧): İki önermenin her ikisi de doğru ise sonuç doğrudur. \( p ∧ q \)
- Veya (∨): İki önermeden en az biri doğru ise sonuç doğrudur. \( p ∨ q \)
- Koşullu (⇒): "Eğer p, o zaman q" anlamına gelir. \( p ⇒ q \) önermesi, yalnızca p doğru ve q yanlışken yanlıştır.
- İki Yönlü Koşullu (⇔): "p ancak ve ancak q" anlamındadır. Her iki önerme aynı doğruluk değerine sahipken doğrudur. \( p ⇔ q \)
Örnek: \( p: "Güneş parlıyor." \), \( q: "Yağmur yağıyor." \) olsun. "Güneş parlıyor ve yağmur yağıyor." ifadesi \( p ∧ q \) ile gösterilir. Her iki durum da aynı anda doğru değilse bu bileşik önerme yanlıştır.
📐 Bölüm 2: Bileşik Önermelerin Özellikleri ve Denklik
Bileşik önermeler, doğruluk tabloları veya bazı temel denklik kuralları kullanılarak sadeleştirilebilir.
- De Morgan Kuralları:
- \( \neg (p ∧ q) \equiv \neg p ∨ \neg q \)
- \( \neg (p ∨ q) \equiv \neg p ∧ \neg q \)
- Dağılma Özelliği:
- \( p ∨ (q ∧ r) \equiv (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) \)
- \( p ∧ (q ∨ r) \equiv (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) \)
- Totoloji ve Çelişki: Bir bileşik önerme tüm doğruluk değerleri için daima doğru ise totoloji, daima yanlış ise çelişki adını alır.
🎯 Bölüm 3: Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı)
Bu bölümde, içinde değişken bulunan ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğruluk değeri değişen ifadeleri inceleriz.
- Yüklem (P(x)): İçinde \( x \) gibi en az bir değişken bulunan ve bu değişkene değer verildiğinde bir önermeye dönüşen ifadedir. Örn: P(x): "x bir asal sayıdır."
- Evrensel Niceleyici (∀): "Her", "bütün" anlamına gelir. \( ∀x, P(x) \) ifadesi, evrendeki tüm \( x \) değerleri için \( P(x) \)'in doğru olduğunu iddia eder.
- Varlıksal Niceleyici (∃): "En az bir", "bazı" anlamına gelir. \( ∃x, P(x) \) ifadesi, evrende en az bir \( x \) değeri için \( P(x) \)'in doğru olduğunu iddia eder.
Önemli İlişki: Bu niceleyiciler birbirlerinin olumsuzu durumundadır:
\( \neg (∀x, P(x)) \equiv ∃x, \neg P(x) \)
\( \neg (∃x, P(x)) \equiv ∀x, \neg P(x) \)
💡 Bölüm 4: Akıl Yürütme ve İspat Yöntemleri
Mantığın en önemli uygulama alanlarından biri ispat teknikleridir.
- Doğrudan İspat: \( p ⇒ q \) önermesini ispatlamak için, \( p \)'nin doğru olduğu kabul edilir ve mantıksal adımlarla \( q \)'nun da doğru olduğu gösterilir.
- Olmayana Ergi (Karşıt Ters) ile İspat: \( p ⇒ q \) önermesi, onun karşıt tersi olan \( \neg q ⇒ \neg p \) önermesini ispatlayarak dolaylı yoldan ispatlanır.
- Çelişki Yöntemi ile İspat: İspatlanmak istenen önermenin yanlış olduğu varsayılır ve bu varsayımdan bir çelişki (hem bir ifadenin hem de olumsuzunun doğru olması) elde edilir. Bu da varsayımın yanlış, yani asıl önermenin doğru olduğunu gösterir.
✅ Sonuç
Mantık, matematiksel düşüncenin ve algoritmik yaklaşımın temel taşıdır. Bu derste öğrendiğiniz önermeler, bağlaçlar, doğruluk tabloları, niceleyiciler ve ispat yöntemleri, sadece sınavlarınız için değil, üniversite eğitiminiz ve sonrasındaki akademik/profesyonel hayatınızda da karşınıza çıkacak kritik becerilerdir. Konuyu pekiştirmek için bol bol alıştırma yapmanızı ve farklı ispat tekniklerini denemenizi öneririm.
