Merhaba! Bu ders notumuzda, matematiğin en temel ve heyecan verici konularından biri olan Limit ve Süreklilik kavramlarını öğreneceğiz. Bu konu, türev ve integral gibi ileri kalkülüs konularının anlaşılması için sağlam bir zemin oluşturur. Hazırsanız başlayalım!
Bir fonksiyonun, belirli bir noktaya yaklaşırken aldığı değere, o fonksiyonun limiti denir. "x, a'ya yaklaşırken f(x)'in limiti L'dir" ifadesi matematiksel olarak şu şekilde gösterilir:
\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
Burada asıl önemli olan, fonksiyonun o noktadaki değeri değil, o noktaya yaklaşırken gösterdiği davranıştır.
Örneğin, \(\lim_{x \to 2} (3x+1)\) limitini düşünelim. x değeri 2'ye çok yakın değerler aldığında (1.99, 1.999, 2.001, 2.01 gibi), (3x+1) ifadesinin değeri de 7'ye çok yakın olur. Bu nedenle limit 7'dir.
Bir noktada limitin var olması için, sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması şarttır.
\(\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L\)
Bazı limitler direkt yerine koyma yöntemiyle (\(f(a)\)) hesaplanamaz. Bu durumlara belirsizlik denir. En sık karşılaşılan belirsizlik \(\frac{0}{0}\) biçimidir.
Bir fonksiyonun grafiğini kalemi kaldırmadan çizebiliyorsak, o fonksiyon süreklidir deriz. Matematiksel olarak bir \(f(x)\) fonksiyonunun \(x=a\) noktasında sürekli olması için üç koşul sağlanmalıdır:
Bu üç koşuldan biri bile bozulursa, fonksiyon o noktada süreksiz olur. Süreksizlik noktaları; kırılma, atlama veya sonsuza giden boşluklar şeklinde grafikte görülür.
Bu konuyu iyi kavramak, matematiksel analizde ilerlemenin anahtarıdır. Bol bol pratik yaparak farklı fonksiyon türleri üzerinde limit ve süreklilik şartlarını test etmenizi öneririm. Bir sonraki konumuz olan Türev için harika bir hazırlık oldu. Başarılar! 🚀
