12. Sınıf Matematik Türev Alma Kuralları ve Örnekler

Question

Türev alırken hangi kuralı ne zaman uygulamam gerektiğini karıştırıyorum. Özellikle çarpım ve bölüm türevlerinde formülleri yazıyorum ama işlem sırasında hata yapıyorum. Basit örneklerle adım adım anlatan bir kaynak arıyorum.

Answer 1

📈 12. Sınıf Matematik: Türev Alma Kuralları ve Örnekler

Merhaba! Bu ders notumuzda, türevin kalbinde yer alan ve işlemlerimizi büyük ölçüde kolaylaştıran temel türev alma kurallarını öğreneceğiz. Kuralları anlamak, türev konusunda ustalaşmanın en önemli adımıdır. Hadi başlayalım!

🎯 Türev Nedir? Kısa Bir Hatırlatma

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim hızını veya grafiğine çizilen teğetin eğimini veren operatöre türev denir. \( f(x) \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) \) veya \( \frac{df}{dx} \) şeklinde gösterilir.

🔑 Temel Türev Alma Kuralları

1. Sabit Fonksiyonun Türevi

Sabit bir sayının türevi sıfırdır.

Kural: \( c \in \mathbb{R} \) için, \( \frac{d}{dx}[c] = 0 \)

Örnek: \( f(x) = 5 \) ise \( f'(x) = 0 \)

2. Kuvvet Kuralı (Power Rule)

En sık kullanacağımız kurallardan biridir.

Kural: \( n \in \mathbb{R} \) için, \( \frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1} \)

Örnekler:

• \( f(x) = x^3 \) → \( f'(x) = 3x^2 \)
• \( g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \) → \( g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• \( h(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} \) → \( h'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)

3. Sabitle Çarpım Kuralı

Bir fonksiyon sabit bir sayı ile çarpılıyorsa, türevde de bu sabit çarpan olarak kalır.

Kural: \( \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x) \)

Örnek: \( f(x) = 4x^5 \) → \( f'(x) = 4 \cdot 5x^4 = 20x^4 \)

4. Toplam/Fark Kuralı

Fonksiyonlar toplanıyor veya çıkarılıyorsa, türevleri de aynı işleme tabi tutulur.

Kural: \( \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \)

Örnek: \( f(x) = 3x^2 + 5x - 7 \) → \( f'(x) = 6x + 5 \)

5. Çarpım Kuralı (Product Rule)

İki fonksiyonun çarpımının türevi için kullanılır.

Kural: \( \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)

Örnek: \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \) için:
\( f'(x) = (2x) \cdot \sin(x) + (x^2) \cdot \cos(x) \)

6. Bölüm Kuralı (Quotient Rule)

İki fonksiyonun bölümünün türevi için kullanılır.

Kural: \( \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)

Örnek: \( f(x) = \frac{x}{x^2+1} \) için:
\( f'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \)

7. Zincir Kuralı (Chain Rule)

Bileşke fonksiyonların türevinde kullanılan en önemli kuraldır. "Dıştakinin türevi çarpı içtekinin türevi" olarak hatırlanır.

Kural: \( \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Örnek: \( f(x) = (3x^2 + 4)^5 \) için:
Dış fonksiyon \( u^5 \), iç fonksiyon \( u = 3x^2+4 \).
\( f'(x) = 5(3x^2+4)^4 \cdot (6x) = 30x(3x^2+4)^4 \)

💡 Örnek Soru Çözümü (Çoklu Kural Uygulaması)

Soru: \( f(x) = 4x^3 \cdot \sqrt{2x+1} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

1. Bu bir çarpım olduğu için önce Çarpım Kuralını uygulayacağız.
   \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) diyelim. \( g(x) = 4x^3 \) ve \( h(x) = \sqrt{2x+1} = (2x+1)^{1/2} \)
2. \( g'(x) = 12x^2 \) (Kuvvet Kuralı).
3. \( h'(x) \)'i bulmak için Zincir Kuralı gerekir:
   \( h'(x) = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \)
4. Çarpım Kuralını uygulayalım:
   \( f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) \)
   \( f'(x) = (12x^2) \cdot \sqrt{2x+1} + (4x^3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \)
5. İfadeyi ortak paydada yazmak için sadeleştirebiliriz:
   \( f'(x) = \frac{12x^2(2x+1) + 4x^3}{\sqrt{2x+1}} = \frac{24x^3 + 12x^2 + 4x^3}{\sqrt{2x+1}} = \frac{28x^3 + 12x^2}{\sqrt{2x+1}} \)
   \( f'(x) = \frac{4x^2(7x + 3)}{\sqrt{2x+1}} \)

✅ Sonuç ve Tavsiyeler

Türev kuralları, bir yapbozun parçaları gibidir. Karmaşık görünen her fonksiyon, bu temel kuralların adım adım uygulanmasıyla türevlenebilir. Pratik yapmak için:

• 📚 Her kural için en az 5 farklı örnek çözün.
• 🔍 Bir soruda hangi kuralların sırayla uygulanacağını belirlemeye çalışın (Önce Zincir, sonra Çarpım kuralı gibi).
• 📝 İşlem basamaklarını atlamadan, düzenli yazın.
• 🔄 Türevini aldığınız fonksiyonun grafiğini ve türev fonksiyonunun işaretini ilişkilendirmeye çalışın.

Bu kuralları özümsediğinizde, türev konusunun geri kalanı (maksimum-minimum, grafik çizimi) çok daha kolay gelecektir. Başarılar!