🧮 2020 AYT Matematik Mutlak Değer Sorusu
2020 AYT sınavında çıkan mutlak değer sorusu şöyleydi:
$a < 0 < b$ olmak üzere,
$\qquad |x - a| + |x - b| = b - a$
eşitliğini sağlayan $x$ değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[a, b]$
B) $(a, b)$
C) $(-\infty, a]$
D) $[b, \infty)$
E) $\mathbb{R}$
Çözüme Hazırlık
Mutlak değerin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
* Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki
sıfıra olan uzaklığıdır.
* Mutlak değer içindeki ifade pozitifse veya sıfırsa, olduğu gibi çıkar.
* Mutlak değer içindeki ifade negatifse,
eksi ile çarpılarak çıkar.
Çözüm Adımları
Şimdi soruyu adım adım çözelim:
1. **Durumları İnceleme:** $x$'in $a$'dan küçük, $a$ ile $b$ arasında ve $b$'den büyük olma durumlarını ayrı ayrı inceleyeceğiz.
2.
1. Durum: $x < a$ ise:
* $|x - a| = -(x - a) = a - x$ (Çünkü $x - a$ negatif)
* $|x - b| = -(x - b) = b - x$ (Çünkü $x - b$ negatif)
Denklem şöyle olur:
$a - x + b - x = b - a$
$2a - 2x = 0$
$2x = 2a$
$x = a$
$x < a$ demiştik, $x = a$ çıktı. Bu durumdan çözüm kümesine dahil olan tek değer $x = a$'dır.
3.
2. Durum: $a \le x \le b$ ise:
* $|x - a| = x - a$ (Çünkü $x - a$ pozitif veya sıfır)
* $|x - b| = -(x - b) = b - x$ (Çünkü $x - b$ negatif veya sıfır)
Denklem şöyle olur:
$x - a + b - x = b - a$
$b - a = b - a$
Bu, $a \le x \le b$ aralığındaki
tüm $x$ değerlerinin denklemi sağladığı anlamına gelir.
4.
3. Durum: $x > b$ ise:
* $|x - a| = x - a$ (Çünkü $x - a$ pozitif)
* $|x - b| = x - b$ (Çünkü $x - b$ pozitif)
Denklem şöyle olur:
$x - a + x - b = b - a$
$2x - a - b = b - a$
$2x = 2b$
$x = b$
$x > b$ demiştik, $x = b$ çıktı. Bu durumdan çözüm kümesine dahil olan değer yoktur.
Sonuç
* 1. durumdan $x = a$ çözüm geldi.
* 2. durumdan $a \le x \le b$ aralığındaki tüm değerler çözüm geldi.
* 3. durumdan çözüm gelmedi.
Bu durumda, çözüm kümesi $[a, b]$ aralığıdır.
Doğru cevap: A) $[a, b]$
