🎨 2026 TYT: Çemberde Teğet Denklemi Kurma Rehberi
Çemberde teğet denklemi kurmak, TYT sınavında karşına çıkabilecek önemli konulardan biridir. Özellikle verilen bir nokta ve eğimle teğet denklemi bulma, dikkat gerektiren bir süreçtir. Bu rehberde, adım adım bu süreci inceleyeceğiz.
🎯 Verilen Bir Noktadan Teğet Denklemi Bulma
Eğer çember üzerindeki bir nokta biliniyorsa, teğet denklemini bulmak daha kolaydır. İşte izlemen gereken adımlar:
- 📍 Öncelikle, çemberin merkezini $(a, b)$ ve yarıçapını $r$ olarak belirle. Çemberin denklemi $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ şeklinde olacaktır.
- 🧮 Teğet olan noktanın koordinatlarını $(x_1, y_1)$ olarak al. Bu nokta, çemberin denklemini sağlamalıdır.
- 📐 Teğetin eğimini bulmak için, merkezden teğet noktasına çizilen doğrunun eğimini bul. Bu doğrunun eğimi $m_1 = \frac{y_1 - b}{x_1 - a}$ olacaktır.
- ✍️ Teğet doğrusu, merkezden teğet noktasına çizilen doğruya dik olduğundan, teğetin eğimi $m_2 = -\frac{1}{m_1}$ olur. Yani, $m_2 = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}$'dir.
- 📝 Son olarak, teğet denklemini nokta-eğim formülüyle yaz. Teğet denklemi: $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ şeklinde olacaktır.
📈 Verilen Bir Eğimle Teğet Denklemi Bulma
Eğer teğetin eğimi verildiyse, teğet denklemini bulmak için farklı bir yaklaşım izlemeliyiz. İşte adımlar:
- 🔵 Çemberin merkezini $(a, b)$ ve yarıçapını $r$ olarak belirle. Çemberin denklemi $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ şeklinde olacaktır.
- 🛤️ Teğetin eğimini $m$ olarak al. Teğet denklemi genel olarak $y = mx + n$ şeklinde olacaktır. Burada $n$'i bulmamız gerekiyor.
- 📏 Merkezden teğete çizilen dik doğrunun uzunluğu, yarıçapa eşit olmalıdır. Bu durumu kullanarak, $|ax_0 + by_0 + c| / \sqrt{a^2 + b^2} = r$ formülünü kullanabiliriz. Burada $(x_0, y_0)$ merkez koordinatlarıdır.
- ✏️ Teğet denklemini $mx - y + n = 0$ şeklinde yazabiliriz. Bu durumda, $\frac{|m \cdot a - b + n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r$ olur.
- 💡 Bu denklemi çözerek $n$'i bul. Genellikle bu denklemden iki farklı $n$ değeri çıkar, bu da iki farklı teğet doğrusu olduğu anlamına gelir.
- ✅ Bulunan $n$ değerlerini $y = mx + n$ denkleminde yerine yazarak teğet denklemlerini elde et.
❓ Örnek Soru Çözümü
Çember denklemi $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ olan çemberin, $m = \frac{4}{3}$ eğimli teğet denklemlerini bulunuz.
1. Çemberin merkezi $(2, -1)$ ve yarıçapı $r = 5$'tir.
2. Teğet denklemi $y = \frac{4}{3}x + n$ şeklinde olacaktır.
3. Denklemi düzenlersek: $\frac{4}{3}x - y + n = 0$ olur.
4. Merkezden teğete olan uzaklık yarıçapa eşit olmalı: $\frac{|\frac{4}{3} \cdot 2 - (-1) + n|}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1}} = 5$
5. $\frac{|\frac{8}{3} + 1 + n|}{\sqrt{\frac{16}{9} + 1}} = 5 \Rightarrow \frac{|\frac{11}{3} + n|}{\frac{5}{3}} = 5$
6. $|\frac{11}{3} + n| = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{11}{3} + n = \pm \frac{25}{3}$
7. $n_1 = \frac{25}{3} - \frac{11}{3} = \frac{14}{3}$ ve $n_2 = -\frac{25}{3} - \frac{11}{3} = -\frac{36}{3} = -12$
8. Teğet denklemleri: $y = \frac{4}{3}x + \frac{14}{3}$ ve $y = \frac{4}{3}x - 12$
Bu adımları takip ederek, çemberde teğet denklemi kurma sorularını kolaylıkla çözebilirsin. Başarılar!
