2026 TYT: Dış Teğet Çemberin Merkezi ve Kenar Uzantıları Arasındaki Bağlantı Nedir?

Question

Dış teğet çemberin merkezi ile kenar uzantıları arasındaki ilişkiyi bir türlü çözemiyorum. Bu bağlantıyı daha net anlamam için bir açıklama gerekiyor.

Answer 1

📐 Dış Teğet Çember Nedir?

Bir üçgenin dış teğet çemberi, üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarının uzantısına teğet olan çemberdir. Her üçgenin üç tane dış teğet çemberi bulunur.

• 🎯 Her bir dış teğet çember, üçgenin bir köşesinin karşısındaki kenara ve diğer iki kenarın uzantısına teğettir.
• 📐 Dış teğet çemberin merkezi, ilgili köşenin dış açıortaylarının kesişim noktasıdır.

🧮 Dış Teğet Çemberin Merkezi Nasıl Bulunur?

Dış teğet çemberin merkezini bulmak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

• 🖍️ İlk olarak, dış teğet çemberini bulmak istediğimiz köşeyi belirleyelim.
• 📐 Belirlediğimiz köşenin dış açıortaylarını çizelim. Dış açıortay, bir açının bütünler açısını iki eşit parçaya bölen doğrudur.
• 📍 Çizdiğimiz dış açıortayların kesişim noktası, dış teğet çemberin merkezidir.

📏 Kenar Uzantıları ile Bağlantısı

Dış teğet çemberin merkezi ile kenar uzantıları arasında önemli bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi anlamak, geometri problemlerini çözerken bize yardımcı olabilir.

• 📐 Dış teğet çemberin merkezi, üçgenin bir kenarının uzantısına ve diğer iki kenarının uzantısına eşit uzaklıktadır. Bu uzaklık, dış teğet çemberin yarıçapına eşittir.
• 📏 Dış teğet çemberin yarıçapı ($r_a$, $r_b$, $r_c$), üçgenin alanı (Alan) ve yarı çevresi (u) ile aşağıdaki gibi bir ilişkiye sahiptir:
  • $r_a = \frac{Alan}{u-a}$
  • $r_b = \frac{Alan}{u-b}$
  • $r_c = \frac{Alan}{u-c}$

  Burada $a$, $b$ ve $c$ üçgenin kenar uzunluklarıdır ve $u = \frac{a+b+c}{2}$'dir.

🧭 Örnek Soru ve Çözümü

Soru: Bir ABC üçgeninde, a = 5 cm, b = 7 cm ve c = 8 cm'dir. A köşesine ait dış teğet çemberin yarıçapını bulunuz.

Çözüm:

• 📏 İlk olarak yarı çevreyi (u) hesaplayalım: $u = \frac{5+7+8}{2} = 10$ cm.
• 📐 Daha sonra Heron formülü ile üçgenin alanını hesaplayalım: $Alan = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ cm².
• 📍 Son olarak, A köşesine ait dış teğet çemberin yarıçapını ($r_a$) hesaplayalım: $r_a = \frac{Alan}{u-a} = \frac{10\sqrt{3}}{10-5} = \frac{10\sqrt{3}}{5} = 2\sqrt{3}$ cm.

Bu örnek, dış teğet çemberin merkezi ve kenar uzantıları arasındaki bağlantıyı kullanarak nasıl problem çözebileceğinizi göstermektedir.