2026 TYT: Üçgende Kenarortay Uzunluğu Nasıl Bulunur? Formülü ve Örnekler

Question

Üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için bir formül varmış ama ben o formülü nasıl kullanacağımı bilmiyorum. Formülü ezberlemek yerine mantığını anlamak istiyorum.

Answer 1

? Üçgende Kenarortay Nedir?

Kenarortay, bir üçgenin bir köşesinden karşı kenarın ortasına çizilen doğru parçasıdır. Yani, kenarı iki eşit parçaya böler. Her üçgenin üç tane kenarortayı vardır ve bu kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişirler. Bu kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.

? Kenarortay Uzunluğu Formülü

Bir üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için kullanabileceğimiz bir formülümüz var. Bu formül, kenarortayın hangi kenara ait olduğuna ve diğer kenar uzunluklarına bağlıdır. Diyelim ki, $a$ kenarına ait kenarortayın uzunluğunu bulmak istiyoruz ve bu kenarortayın uzunluğu $V_a$ olsun. Formülümüz şu şekilde:

$V_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Burada:

• ? $V_a$: $a$ kenarına ait kenarortayın uzunluğu
• ? $a$: Kenarortayın ait olduğu kenarın uzunluğu
• ? $b$ ve $c$: Üçgenin diğer iki kenarının uzunlukları

? Formülü Anlayalım

Bu formül biraz karışık görünebilir, ama aslında oldukça kullanışlıdır. Formül bize şunu söylüyor: Bir kenarortayın uzunluğunu bulmak için, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerini alıp 2 ile çarpıyoruz, sonra kenarortayın ait olduğu kenarın karesini çıkarıyoruz. Son olarak, bu işlemin sonucunun karekökünü alıp 1/2 ile çarpıyoruz.

✍️ Örnek Soru Çözümleri

Şimdi bu formülü nasıl kullanacağımızı örneklerle görelim.

? Örnek 1:

Bir üçgende $a = 6$ cm, $b = 5$ cm ve $c = 7$ cm olsun. $a$ kenarına ait kenarortayın uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Formülümüzü hatırlayalım: $V_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Şimdi değerleri yerine koyalım:

$V_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(5^2) + 2(7^2) - 6^2}$ $V_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(25) + 2(49) - 36}$ $V_a = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 36}$ $V_a = \frac{1}{2} \sqrt{112}$ $V_a = \frac{1}{2} \sqrt{16 \cdot 7}$ $V_a = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{7}$ $V_a = 2\sqrt{7}$ cm

Yani, $a$ kenarına ait kenarortayın uzunluğu $2\sqrt{7}$ cm'dir.

? Örnek 2:

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm, $|AC| = 10$ cm ve $BC$ kenarına ait kenarortayın uzunluğu 9 cm'dir. Buna göre $|BC|$ kaç cm'dir?

Çözüm:

Bu sefer kenarortay uzunluğu verilmiş ve bizden kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Formülümüzü kullanarak tersten işlem yapacağız.

$V_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Burada $V_a = 9$, $b = 10$ ve $c = 8$. $a$'yı bulmaya çalışacağız.

$9 = \frac{1}{2} \sqrt{2(10^2) + 2(8^2) - a^2}$ $9 = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 128 - a^2}$ $9 = \frac{1}{2} \sqrt{328 - a^2}$

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

$18 = \sqrt{328 - a^2}$

Şimdi her iki tarafın karesini alalım:

$324 = 328 - a^2$

$a^2$'yi yalnız bırakalım:

$a^2 = 328 - 324$ $a^2 = 4$

Son olarak karekök alalım:

$a = \sqrt{4}$ $a = 2$ cm

Yani, $|BC| = 2$ cm'dir.