📐 2026 TYT: Dönüşüm Geometrisinde Uzaklık Korunumu Nedir?
Dönüşüm geometrisi, şekilleri ve uzayı farklı şekillerde değiştirerek inceler. Bu değişikliklere
dönüşüm denir. Önemli bir özellik ise bazı dönüşümlerin
uzaklığı koruyabilmesidir. Yani, bir şeklin üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe, dönüşümden sonra da aynı kalır.
🎯 Uzaklık Koruyan Dönüşümler Nelerdir?
Uzaklık koruyan dönüşümler, şekillerin boyutlarını ve şekillerini değiştirmez, sadece yerlerini veya yönlerini değiştirir. Bu dönüşümler şunlardır:
- 🔄 Öteleme: Bir şekli belirli bir yönde ve belirli bir mesafe kadar kaydırmaktır. Her nokta aynı miktarda ve aynı yönde hareket eder.
- 💫 Dönme: Bir şekli sabit bir nokta etrafında döndürmektir. Her nokta, dönme merkezine olan uzaklığı değişmeden döner.
- 🪞 Yansıma: Bir şeklin bir doğruya göre aynadaki görüntüsünü almaktır. Her nokta, yansıma doğrusuna olan uzaklığı aynı kalacak şekilde karşı tarafa geçer.
📏 Uzaklık Korunumu Nasıl Sağlanır?
Uzaklık korunumu, dönüşüm sırasında şeklin üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki mesafenin değişmemesiyle sağlanır. Örneğin:
- 📍 Bir $A$ ve $B$ noktası düşünelim. Bu iki nokta arasındaki mesafe $d(A, B)$ olsun.
- ✨ Bir öteleme uyguladığımızda, $A$ noktası $A'$ noktasına, $B$ noktası $B'$ noktasına dönüşsün.
- ✅ Eğer öteleme uzaklık koruyorsa, $d(A, B) = d(A', B')$ olmalıdır. Yani, $A$ ve $B$ arasındaki mesafe, $A'$ ve $B'$ arasındaki mesafeye eşit olmalıdır.
Aynı durum dönme ve yansıma için de geçerlidir. Eğer dönüşüm uzaklık koruyorsa, şeklin üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki mesafe dönüşümden önce ve sonra aynı kalır.
❓ Neden Önemli?
Uzaklık korunumu, geometrik problemleri çözerken bize büyük kolaylık sağlar. Bir şeklin dönüştürülmüş halini incelerken, bazı özelliklerinin değişmediğini bilmek, problemi daha basit hale getirebilir. Örneğin, bir üçgenin kenar uzunlukları biliniyorsa ve bu üçgen ötelendiyse, yeni üçgenin de aynı kenar uzunluklarına sahip olduğunu biliriz.
📝 Örnek Soru
Bir $ABC$ üçgeni düşünün. Bu üçgen, bir öteleme ile $A'B'C'$ üçgenine dönüştürülüyor. Eğer $AB = 5$ cm ise, $A'B'$ kaç cm'dir?
Çözüm:
Öteleme uzaklık koruyan bir dönüşüm olduğu için, $A$ ve $B$ arasındaki mesafe, $A'$ ve $B'$ arasındaki mesafeye eşit olacaktır. Bu nedenle, $A'B' = AB = 5$ cm'dir.
📚 Ek Bilgiler
* Uzaklık korumayan dönüşümlere örnek olarak
homoteti (benzerlik dönüşümü) verilebilir. Homoteti, şeklin boyutunu değiştirir, dolayısıyla uzaklık korunmaz.
* Dönüşüm geometrisi, sadece TYT'de değil, mühendislikten bilgisayar grafiklerine kadar birçok alanda kullanılır.
