Bir doğal sayıyı, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bunun için en çok kullandığımız iki yöntem vardır: Çarpan Ağacı ve Bölen Listesi.
Bu yöntemde sayıyı, en küçük asal sayıdan başlayarak sürekli böleriz ve bir ağaç şekli oluştururuz.
Örnek: 36'yı asal çarpanlarına ayıralım.
Sonuç: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²
Bu yöntemde sayıyı, en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla böleriz.
Örnek: 60'ı asal çarpanlarına ayıralım.
Böldüğümüz tüm asal sayılar: 2, 2, 3, 5
Sonuç: 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
İpucu: Bir sayıyı bölerken her zaman en küçük asal sayıdan (2, 3, 5, 7...) başlamayı unutmayın!
Soru 1: Bir çiftçi bahçesindeki 60 tane elma ağacını eşit sayıda ağaç olacak şekilde sıralamak istiyor. Her sırada en az 5 ağaç olmasını şart koşuyor. Buna göre çiftçi bahçesini kaç farklı şekilde düzenleyebilir?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
Cevap: c) 6
Çözüm: 60'ın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Her sırada en az 5 ağaç olacağı için 5'ten küçük çarpanlar (1, 2, 3, 4) elenir. Geriye 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 olmak üzere 8 çarpan kalır. Ancak soru "kaç farklı şekilde" dediği için bu 8 çarpan 4 çift oluşturur (5×12, 6×10, 15×4, 20×3, 30×2, 60×1 - ama 5'ten küçükler elendi). Doğru sayı: 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 → 8/2 = 4 değil, 6 farklı düzen.
Soru 2: 84 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(2^a × 3^b × c^1\) şeklindedir. Buna göre a + b + c işleminin sonucu kaçtır?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
Cevap: d) 10
Çözüm: 84'ü asal çarpanlarına ayıralım: 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = \(2^2 × 3^1 × 7^1\). Bu durumda a = 2, b = 1, c = 7 olur. a + b + c = 2 + 1 + 7 = 10
Soru 3: Bir okuldaki iki farklı sınıftaki öğrenci sayıları asal çarpanlarına ayrıldığında ortak olan tek asal çarpan 3'tür. Bu iki sayının toplamı 48 olduğuna göre, bu iki sınıftaki öğrenci sayılarının çarpımı kaçtır?
a) 315 b) 351 c) 405 d) 423
Cevap: b) 351
Çözüm: Ortak tek asal çarpan 3 ise sayılar 3'ün katıdır ve başka ortak asal çarpanları yoktur. Toplamları 48 olduğuna göre: 3a + 3b = 48 → 3(a+b) = 48 → a+b = 16. a ve b aralarında asal olmalı. Olası çiftler: (1,15), (3,13), (5,11), (7,9). Bu durumda sayılar: (3,45), (9,39), (15,33), (21,27). Ortak tek asal çarpanı sadece 3 olan çift (9,39) ve (15,33)'tür. 9 = 3², 39 = 3×13 ve 15 = 3×5, 33 = 3×11. Her iki durumda da çarpım: 9×39 = 351 veya 15×33 = 495. Seçeneklerde 351 olduğu için cevap 351'dir.
1. Bir doğal sayıyı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya, o sayıyı _________________ denir.
2. Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına, o sayının _________________ denir.
3. 1'den ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1'den büyük doğal sayılara _________________ denir.
4. En küçük asal sayı _________________ 'dır.
5. 2'den başka çift asal sayı _________________ yoktur.
1. ( ) 57 sayısı asal sayıdır.
2. ( ) 1 asal sayı kabul edilir.
3. ( ) 91 sayısının asal çarpanları 7 ve 13'tür.
4. ( ) Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için çarpan ağacı yöntemi kullanılabilir.
5. ( ) 30 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
Aşağıdaki sayıları asal çarpanları ile eşleştiriniz.
1. 42 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
2. 84 sayısını çarpan ağacı yöntemi ile asal çarpanlarına ayırınız.
3. 100 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
4. Asal çarpanları 2, 3 ve 7 olan sayıyı bulunuz.
1. Aşağıdakilerden hangisi 45 sayısının asal çarpanlarından biri değildir?
a) 3 b) 5 c) 9 d) 45'in asal çarpanları 3 ve 5'tir.
2. \( 2^2 \times 3 \times 5 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
a) 30 b) 45 c) 60 d) 90
3. Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
a) 21 b) 39 c) 49 d) 67
4. 56 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 2 \times 28 \) b) \( 7 \times 8 \) c) \( 2^3 \times 7 \) d) \( 4 \times 14 \)
Cevaplar:
A: 1) asal çarpanlarına ayırma, 2) asal çarpanları, 3) asal sayılar, 4) 2, 5) yoktur
B: 1) Yanlış, 2) Yanlış, 3) Doğru, 4) Doğru, 5) Doğru
C: 1-B, 2-A, 3-D, 4-C
D: 1) \( 2 \times 3 \times 7 \), 2) \( 2^2 \times 3 \times 7 \), 3) \( 2^2 \times 5^2 \), 4) 42
E: 1-c, 2-c, 3-d, 4-c
