Parçalı fonksiyon, tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonlar, birleştirilmiş birden fazla fonksiyon gibi davranır ve genellikle "şartlı fonksiyon" olarak da adlandırılır.
Parçalı fonksiyon, matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
\( f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{eğer } x \in A \\ f_2(x) & \text{eğer } x \in B \\ \vdots \\ f_n(x) & \text{eğer } x \in Z \end{cases} \)
Burada:
Aşağıdaki parçalı fonksiyonu inceleyelim:
\( f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{eğer } x < 0 \\ x^2 & \text{eğer } x \geq 0 \end{cases} \)
Bu fonksiyon:
Parçalı fonksiyonların grafiği çizilirken:
1. Parçalı fonksiyonlar, farklı aralıklarda ________ tanımlanan fonksiyonlardır.
2. \( f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{eğer } x < 0 \\ x^2 & \text{eğer } x \geq 0 \end{cases} \) fonksiyonunda \( f(-1) = \) ________.
Verilen parçalı fonksiyon: \( f(x) = \begin{cases} 2x-5 & \text{eğer } x \leq 3 \\ x^2+1 & \text{eğer } x > 3 \end{cases} \)
1. Parçalı fonksiyonlar sadece iki parçadan oluşabilir. (D/Y)
2. \( f(x) = |x| \) bir parçalı fonksiyondur. (D/Y)
1. \( f(x) = \begin{cases} 3x & \text{eğer } x < 2 \\ 5-x & \text{eğer } x \geq 2 \end{cases} \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki değeri nedir?
2. Parçalı fonksiyonların grafiği çizilirken hangi noktalara dikkat edilmelidir?
1. Aşağıdakilerden hangisi parçalı fonksiyon değildir?
a) \( f(x) = \begin{cases} x & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x & \text{eğer } x < 0 \end{cases} \)
b) \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \)
c) \( f(x) = \begin{cases} 1 & \text{eğer } x \in \mathbb{Z} \\ 0 & \text{eğer } x \notin \mathbb{Z} \end{cases} \)
Cevaplar:
1: farklı kurallarla, 2: -1
A-C, B-D
1: Y, 2: D
1: 3, 2: Kritik noktalar ve parça geçişleri
1: b
Soru 1: Aşağıda parçalı olarak tanımlanan fonksiyonun \( f(3) \) değeri kaçtır?
\[ f(x) = \begin{cases}
x + 2 & \text{eğer } x < 2 \\
3x - 1 & \text{eğer } x \geq 2
\end{cases} \]
a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17
Cevap: b) 8
Çözüm: \( 3 \geq 2 \) olduğu için ikinci kural uygulanır: \( f(3) = 3 \times 3 - 1 = 8 \).
Soru 2: Aşağıdaki parçalı fonksiyonun grafiği hangi noktada süreksizdir?
\[ g(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{eğer } x \leq 1 \\
4 - x & \text{eğer } x > 1
\end{cases} \]
a) \( x = -1 \) b) \( x = 0 \) c) \( x = 1 \) d) \( x = 2 \) e) Süreksizlik yoktur
Cevap: c) \( x = 1 \)
Çözüm: \( x = 1 \) noktasında sağ ve sol limitler farklıdır (\( 1 \neq 3 \)), bu yüzden süreksizdir.
Soru 3: Bir otopark ücreti, ilk 1 saat ücretsiz, 1-3 saat arası 10 TL ve 3 saatten sonra her saat için 5 TL olarak parçalı fonksiyonla tanımlanıyor. 4,5 saat park eden bir araç kaç TL öder?
a) 10 b) 15 c) 17,5 d) 20 e) 22,5
Cevap: c) 17,5
Çözüm: 1-3 saat arası 10 TL + 1,5 saat × 5 TL = 10 + 7,5 = 17,5 TL.
Soru 4: Hangi parçalı fonksiyon \( f(0) = 2 \) ve \( f(2) = 4 \) koşullarını sağlar?
a) \( f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 1 \\ 2x & x \geq 1 \end{cases} \) b) \( f(x) = \begin{cases} 2 & x \leq 0 \\ x + 2 & x > 0 \end{cases} \)
c) \( f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases} \) d) \( f(x) = \begin{cases} |x| + 2 & x \neq 2 \\ 0 & x = 2 \end{cases} \)
e) \( f(x) = \begin{cases} 2x & x \leq 1 \\ x + 3 & x > 1 \end{cases} \)
Cevap: b)
Çözüm: Seçenek b'de \( f(0) = 2 \) ve \( f(2) = 2 + 2 = 4 \) olur. Diğerleri koşulları sağlamaz.
