Fonksiyonlar, matematikte bir kümenin elemanlarını başka bir kümenin elemanlarıyla eşleyen özel ilişkilerdir. Tanım ve görüntü kümeleri, fonksiyonun temel özelliklerini anlamak için kritik öneme sahiptir.
Tanım kümesi, bir fonksiyonun girdi aldığı değerlerin kümesidir. Yani, fonksiyonun tanımlı olduğu tüm x değerlerini içerir.
Görüntü kümesi, tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altında aldığı çıktı değerlerinin kümesidir. Yani, fonksiyonun alabileceği tüm y değerlerini ifade eder.
Örnek Soru: \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Fonksiyonlar, matematikte bir kümenin elemanlarını başka bir kümenin elemanlarıyla eşleştiren özel bir ilişkidir. Bu ilişkiyi tanımlarken tanım kümesi ve görüntü kümesi kavramları önemlidir.
Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun girdi aldığı tüm değerlerin oluşturduğu kümedir. Yani, fonksiyonun üzerinde tanımlı olduğu bağımsız değişkenlerin (genellikle \( x \)) alabileceği değerlerdir.
Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( x \geq 0 \) olan tüm gerçel sayılardır. Çünkü karekök içindeki ifade negatif olamaz.
Görüntü kümesi, fonksiyonun tanım kümesindeki elemanlara karşılık gelen çıktı değerlerinin oluşturduğu kümedir. Bağımlı değişkenin (genellikle \( y \) veya \( f(x) \)) alabileceği tüm değerlerdir.
Örnek: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun görüntü kümesi, \( y \geq 0 \) olan tüm gerçel sayılardır. Çünkü bir sayının karesi her zaman negatif olmayan bir değer verir.
Not: Bazı fonksiyonların tanım veya görüntü kümeleri belirli kısıtlamalara sahip olabilir. Örneğin, paydasında değişken bulunan fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesine dahil edilmez.
1. Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun __________ aldığı değerlerin kümesidir.
2. \( f(x) = \sqrt{x-2} \) fonksiyonunun tanım kümesi __________ şeklinde ifade edilir.
3. Görüntü kümesi, fonksiyonun __________ değerlerinin oluşturduğu kümedir.
4. \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılardır. (D/Y)
5. \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( x \neq 0 \) olan reel sayılardır. (D/Y)
6. Görüntü kümesi her zaman tanım kümesinden büyüktür. (D/Y)
7. Tanım kümesi \( x \geq 0 \) olan fonksiyon: _____
8. Tanım kümesi \( x \neq 3 \) olan fonksiyon: _____
9. Tanım kümesi tüm reel sayılar olan fonksiyon: _____
10. \( f(x) = \frac{3}{x+5} \) fonksiyonunun tanım kümesini yazınız.
11. \( f(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun görüntü kümesini belirtiniz.
12. Hangi fonksiyonun tanım kümesi \( x \leq 2 \) şeklindedir?
A) \( f(x) = \sqrt{2-x} \)
B) \( f(x) = \frac{1}{x-2} \)
C) \( f(x) = x^3 \)
Cevaplar:
1: girdi
2: [2, ∞)
3: çıktı
4: D
5: D
6: Y
7: C
8: B
9: A
10: x ≠ -5
11: [-4, ∞)
12: A
Soru 1: \( f: A \rightarrow B \) fonksiyonu için \( A = \{1, 2, 3\} \) ve \( f(x) = 2x + 1 \) olarak tanımlanıyor. Buna göre, bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \{1, 3, 5\}
b) \{3, 5, 7\}
c) \{2, 4, 6\}
d) \{1, 2, 3\}
e) \{0, 1, 2\}
Cevap: b) \{3, 5, 7\}
Çözüm: Tanım kümesindeki her elemanı \( f(x) = 2x + 1 \) ile eşleyelim: \( f(1) = 3 \), \( f(2) = 5 \), \( f(3) = 7 \). Görüntü kümesi \{3, 5, 7\} olur.
Soru 2: \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere \( f(x) = \sqrt{x - 2} \) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( x \geq 0 \)
b) \( x > 2 \)
c) \( x \geq 2 \)
d) \( x \leq 2 \)
e) \( x \in \mathbb{R} \)
Cevap: c) \( x \geq 2 \)
Çözüm: Karekök içindeki ifade negatif olamaz: \( x - 2 \geq 0 \) → \( x \geq 2 \). Tanım kümesi \( [2, \infty) \) aralığıdır.
Soru 3: \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \) fonksiyonunun tanımsız olduğu noktalar hangi seçenekte doğru verilmiştir?
a) \( x = 2 \)
b) \( x = -2 \)
c) \( x = 2 \) ve \( x = -2 \)
d) \( x = 0 \)
e) Hiçbiri
Cevap: c) \( x = 2 \) ve \( x = -2 \)
Çözüm: Payda sıfır olamaz: \( x^2 - 4 = 0 \) → \( x = \pm 2 \). Bu değerlerde fonksiyon tanımsızdır.
